Wzajemne położenie prostych - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się porównywać dwie proste bez dokładnego rysunku. Wystarczy odczytać albo wyznaczyć współczynniki kierunkowe i sprawdzić, czy równania opisują różne proste, czy tę samą.

Na start

równe nachylenia: równoległość albo pokrywanie się

różne nachylenia: jeden punkt przecięcia

$a_{1}a_{2}=-1$ oznacza prostopadłość

Po tej lekcji:

rozpoznasz proste równoległe, przecinające się i pokrywające się
sprawdzisz prostopadłość z warunku na współczynniki kierunkowe
uwzględnisz proste pionowe i poziome

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Proste równoległe

Dwie niepionowe proste mają ten sam kierunek, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

$a_1=a_2$

Jeśli $b_1\ne b_2$ , proste są równoległe i różne.

PRZYKŁAD

Sprawdź, czy proste $y=2x+1$ i $y=2x-5$ są równoległe.

Rozwiązanie

Obie mają $a=2$ , ale różne wyrazy wolne: $1\ne -5$ . Są równoległe i różne.

02WYJAŚNIENIE

Proste pokrywające się

Jeśli po uproszczeniu dwa równania są takie same, opisują tę samą prostą. Wtedy proste pokrywają się i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

PRZYKŁAD

Określ położenie prostych $y=3x-2$ oraz $2y=6x-4$ .

Rozwiązanie

Dzielimy drugie równanie przez $2$ : $y=3x-2$ . To dokładnie ta sama prosta.

Wskazówka

Nie kończ odpowiedzi słowem „równoległe”, jeśli równania opisują tę samą prostą. Wtedy trzeba powiedzieć: proste pokrywają się.

03WYJAŚNIENIE

Proste przecinające się

Jeśli dwie niepionowe proste mają różne współczynniki kierunkowe, przecinają się dokładnie w jednym punkcie.

$a_1\ne a_2\Rightarrow \text{jedno przecięcie}$

PRZYKŁAD

Określ położenie prostych $y=x+2$ oraz $y=-2x+5$ .

Rozwiązanie

Pierwsza ma $a_1=1$ , druga $a_2=-2$ . Ponieważ $1\ne -2$ , proste przecinają się w jednym punkcie.

04WYJAŚNIENIE

Warunek prostopadłości

Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ .

Dwie proste prostopadłe z oznaczonym kątem 90 stopni i warunkiem a1a2=-1.

$a_1\cdot a_2=-1$

PRZYKŁAD

Sprawdź, czy proste $y=2x+3$ i $y=-\frac{1}{2}x+4$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Mamy $a_1=2$ i $a_2=-\frac{1}{2}$ . Iloczyn to $2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ , więc proste są prostopadłe.

Wskazówka

Przeciwne znaki nie wystarczą. Musi wyjść dokładnie $-1$ .

05WYJAŚNIENIE

Współczynnik prostej prostopadłej

Do prostej o współczynniku $a$ prosta prostopadła ma współczynnik równy odwrotności z przeciwnym znakiem. Dla prostej poziomej $y=b$ prostopadła jest prosta pionowa $x=c$ . Nie obliczamy wtedy $-\frac1a$ , bo współczynnik prostej poziomej to $a=0$ .

$a_{\perp}=-\frac{1}{a}$

PRZYKŁAD

Jaki współczynnik ma prosta prostopadła do $y=\frac{3}{4}x+1$ ?

Rozwiązanie

Dana prosta ma $a=\frac{3}{4}$ . Odwrotność to $\frac{4}{3}$ , a po zmianie znaku dostajemy $a_{\perp}=-\frac{4}{3}$ .

Zapamiętaj

do $2$ prostopadły jest $-\frac{1}{2}$

do $-3$ prostopadły jest $\frac{1}{3}$

06WYJAŚNIENIE

Pozioma i pionowa

Warunek $a_{1}a_{2}=-1$ dotyczy prostych niepionowych. Osobno pamiętaj, że każda prosta pozioma jest prostopadła do każdej prostej pionowej.

PRZYKŁAD

Czy proste $y=2$ i $x=-3$ są prostopadłe?

Rozwiązanie

$y=2$ jest pozioma, a $x=-3$ jest pionowa. Przecinają się pod kątem prostym, więc są prostopadłe.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Proste $y=4x+1$ i $y=4x-8$ są:

prostopadłe

równoległe i różne

przecinające się pod kątem innym niż prosty

pokrywające się

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

równoległe i różne

Mają ten sam współczynnik $a=4$ , ale różne wyrazy wolne, więc są równoległe i różne.

PYTANIE 02

Zadanie

Proste $y=3x+2$ i $y=-\frac{1}{3}x+5$ są:

równoległe

prostopadłe

pokrywające się

pionowe

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

prostopadłe

$3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$ , więc proste są prostopadłe.

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

Wzajemne położenie prostych najczęściej rozpoznasz po współczynnikach kierunkowych. Gdy równania mają różne postacie, najpierw sprowadź je do jednego typu zapisu.

Zapamiętaj

$a_1=a_2$ : równoległe albo pokrywające się

$a_1\ne a_2$ : jedno przecięcie

$a_{1}a_{2}=-1$ : prostopadłe

$x=c$ i $y=b$ są prostopadłe