Punkt przecięcia prostych - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się znajdować punkt wspólny dwóch prostych. Taki punkt musi spełniać oba równania naraz, więc szukamy go przez rozwiązanie układu równań.

Na start

punkt przecięcia leży na obu prostych

układ równań daje współrzędne punktu

wynik sprawdzamy w obu równaniach

Po tej lekcji:

wyznaczysz punkt przecięcia dwóch prostych
rozwiążesz układ równań metodą przyrównania, podstawiania albo eliminacji
rozpoznasz brak przecięcia i pokrywanie się prostych

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co oznacza punkt przecięcia?

Punkt przecięcia ma jedną parę współrzędnych $(x,y)$ , która pasuje do obu równań prostych.

Dwie proste y=x+1 i y=-x+5 przecinają się w punkcie (2,3).

PRZYKŁAD

Wyjaśnij, dlaczego $(2,3)$ jest punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=-x+5$ .

Rozwiązanie

Dla pierwszej prostej: $2+1=3$ . Dla drugiej: $-2+5=3$ . Punkt spełnia oba równania, więc leży na obu prostych.

02WYJAŚNIENIE

Przyrównanie prawych stron

Jeśli obie proste mają postać $y=\ldots$ , to w punkcie przecięcia ich wartości $y$ są równe. Możesz więc przyrównać prawe strony.

PRZYKŁAD

Znajdź punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ i $y=-x+5$ .

Rozwiązanie

$2x-1=-x+5$ , więc $3x=6$ i $x=2$ . Podstawiamy: $y=2\cdot2-1=3$ . Punkt przecięcia to $(2,3)$ .

Zapamiętaj

Gdy masz $y=\ldots$ i $y=\ldots$ , przyrównaj prawe strony.

03WYJAŚNIENIE

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania jest wygodna, gdy jedno równanie ma już wyznaczone $y$ albo $x$ .

PRZYKŁAD

Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=x+4$ oraz $x+y=10$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $y=x+4$ do drugiego równania: $x+(x+4)=10$ . Stąd $2x=6$ i $x=3$ . Wtedy $y=3+4=7$ , więc punkt to $(3,7)$ .

Wskazówka

Jeśli jedno równanie jest już w postaci $y=\ldots$ , podstawianie zwykle jest najkrótsze.

04WYJAŚNIENIE

Metoda eliminacji

Eliminacja jest wygodna, gdy po dodaniu albo odjęciu równań jedna niewiadoma znika.

PRZYKŁAD

Wyznacz punkt przecięcia prostych $2x+y=8$ oraz $x-y=1$ .

Rozwiązanie

Dodajemy równania stronami, bo $y$ i $-y$ się redukują. Dostajemy $3x=9$ , więc $x=3$ . Z równania $x-y=1$ mamy $3-y=1$ , więc $y=2$ . Punkt to $(3,2)$ .

05WYJAŚNIENIE

Gdy proste są równoległe

Jeśli proste są równoległe i różne, nie mają punktu przecięcia. W układzie równań wychodzi wtedy sprzeczność.

Dwie proste równoległe y=2x+1 i y=2x-3 bez punktu wspólnego.

PRZYKŁAD

Rozwiąż układ prostych $y=2x+1$ i $y=2x-3$ .

Rozwiązanie

Przyrównujemy prawe strony: $2x+1=2x-3$ . Po odjęciu $2x$ dostajemy $1=-3$ , czyli fałsz. Układ nie ma rozwiązania.

Zapamiętaj

Brak rozwiązania układu oznacza brak punktu przecięcia.

06WYJAŚNIENIE

Gdy proste się pokrywają

Jeśli dwa równania opisują tę samą prostą, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każdy punkt tej prostej jest wspólny.

PRZYKŁAD

Rozwiąż układ prostych $y=x+2$ i $2y=2x+4$ .

Rozwiązanie

Drugie równanie dzielimy przez $2$ i dostajemy $y=x+2$ . Oba równania opisują tę samą prostą, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Zapamiętaj

jedno rozwiązanie: jedno przecięcie

brak rozwiązań: proste równoległe różne

nieskończenie wiele rozwiązań: proste pokrywają się

07WYJAŚNIENIE

Z prostą pionową albo poziomą

Prosta pionowa $x=c$ od razu daje pierwszą współrzędną punktu przecięcia. Prosta pozioma $y=b$ od razu daje drugą.

PRZYKŁAD

Znajdź punkt przecięcia prostych $x=2$ i $y=3x-1$ .

Rozwiązanie

Z prostej pionowej mamy $x=2$ . Podstawiamy do drugiego równania: $y=3\cdot2-1=5$ . Punkt przecięcia to $(2,5)$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Punkt przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=-x+5$ to:

$(1,2)$

$(2,3)$

$(3,2)$

$(5,0)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(2,3)$

$x+1=-x+5$ , więc $2x=4$ i $x=2$ . Wtedy $y=3$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Układ prostych $y=3x+2$ i $y=3x-4$ ma:

jedno rozwiązanie

dwa rozwiązania

brak rozwiązań

nieskończenie wiele rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

brak rozwiązań

Proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne. Są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego.

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

Punkt przecięcia to wspólne rozwiązanie dwóch równań prostych. Metodę wybierasz po zapisie równań: przyrównanie, podstawianie albo eliminację.

Zapamiętaj

punkt przecięcia spełnia oba równania

jedno rozwiązanie: jedno przecięcie

brak rozwiązań: równoległe różne

nieskończenie wiele rozwiązań: pokrywają się