Wyznaczanie równania prostej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się budować równanie prostej z informacji podanych w zadaniu: z nachylenia i punktu, z dwóch punktów oraz z warunku równoległości.

Na start

współczynnik i punkt pozwalają znaleźć $b$

dwa punkty pozwalają najpierw znaleźć $a$

proste równoległe mają ten sam $a$

Po tej lekcji:

wyznaczysz równanie prostej z punktu i współczynnika kierunkowego
obliczysz współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
użyjesz warunku równoległości

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Gdy znasz punkt i nachylenie

Jeśli znasz współczynnik kierunkowy $a$ i punkt leżący na prostej, wpisz $a$ do równania $y=ax+b$ , a potem podstaw punkt, żeby obliczyć $b$ .

PRZYKŁAD

Wyznacz równanie prostej o współczynniku $a=2$ , przechodzącej przez punkt $P=(3,7)$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy $y=2x+b$ . Podstawiamy punkt: $7=2\cdot3+b$ , więc $7=6+b$ i $b=1$ . Równanie to $y=2x+1$ .

Zapamiętaj

Jeśli znasz $a$ , brakuje tylko $b$ .

02WYJAŚNIENIE

Współczynnik z dwóch punktów

Z dwóch punktów obliczasz współczynnik kierunkowy jako zmianę $y$ podzieloną przez zmianę $x$ .

Punkty A=(1,2), B=(4,8) oraz kroki delta x i delta y.

Wzoru na współczynnik kierunkowy używasz tylko przy $x_1\ne x_2$ . Gdy dwa różne punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, prosta jest pionowa i ma równanie $x=x_1$ .

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

PRZYKŁAD

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przez punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,8)$ .

Rozwiązanie

$a=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$ . Przy przejściu o $3$ w prawo prosta idzie o $6$ w górę.

Wskazówka

Jeśli $x_2-x_1=0$ , prosta jest pionowa i nie ma współczynnika kierunkowego.

03WYJAŚNIENIE

Równanie przez dwa punkty

Najpierw oblicz $a$ , potem podstaw jeden z punktów do $y=ax+b$ , żeby znaleźć $b$ .

PRZYKŁAD

Wyznacz równanie prostej przez punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,8)$ .

Rozwiązanie

$a=\frac{8-2}{4-1}=2$ , więc $y=2x+b$ . Podstawiamy $A=(1,2)$ : $2=2\cdot1+b$ , więc $b=0$ . Równanie to $y=2x$ .

Zapamiętaj

Dwa różne punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą.

04WYJAŚNIENIE

Ułamkowy współczynnik

Współczynnik kierunkowy nie musi być całkowity. Ułamek często jest najczytelniejszą postacią wyniku.

PRZYKŁAD

Wyznacz równanie prostej przez punkty $A=(2,1)$ i $B=(6,3)$ .

Rozwiązanie

$a=\frac{3-1}{6-2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ . Zatem $y=\frac{1}{2}x+b$ . Po podstawieniu $A=(2,1)$ mamy $1=\frac{1}{2}\cdot2+b$ , więc $b=0$ . Równanie to $y=\frac{1}{2}x$ .

Wskazówka

Nie zamieniaj prostego ułamka na przybliżenie dziesiętne. $\frac{1}{2}$ jest dokładniejsze i czytelne.

05WYJAŚNIENIE

Prosta równoległa do danej

Proste równoległe niepionowe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Przepisujesz więc $a$ , a punkt pomaga znaleźć $b$ .

Dwie proste równoległe o współczynniku a=3, jedna przechodzi przez punkt P=(2,5).

PRZYKŁAD

Wyznacz równanie prostej przez punkt $P=(2,5)$ równoległej do $y=3x-4$ .

Rozwiązanie

Dana prosta ma $a=3$ , więc szukana też ma $a=3$ . Zapisujemy $y=3x+b$ . Podstawiamy punkt: $5=3\cdot2+b$ , więc $b=-1$ . Równanie to $y=3x-1$ .

06WYJAŚNIENIE

Prosta pionowa przez dwa punkty

Jeśli dwa punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, leżą na prostej pionowej. Takiej prostej nie zapisujemy jako $y=ax+b$ .

PRZYKŁAD

Wyznacz równanie prostej przez punkty $A=(4,-1)$ i $B=(4,5)$ .

Rozwiązanie

Oba punkty mają tę samą pierwszą współrzędną: $x=4$ . Każdy punkt tej prostej ma więc pierwszą współrzędną równą $4$ . Równanie to $x=4$ .

Wskazówka

Nie podstawiaj do wzoru na $a$ , gdy $x_2-x_1=0$ . Dzielenie przez $0$ jest niedozwolone.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Prosta ma współczynnik $a=4$ i przechodzi przez punkt $(1,6)$ . Jej równanie to:

$y=4x+2$

$y=4x+6$

$y=x+4$

$y=-4x+10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$y=4x+2$

$y=4x+b$ . Podstawiamy $(1,6)$ : $6=4+b$ , więc $b=2$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Prosta przez punkty $(5,-2)$ i $(5,4)$ ma równanie:

$y=5$

$x=5$

$y=x+5$

$x=-2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=5$

Oba punkty mają pierwszą współrzędną $5$ , więc leżą na prostej pionowej $x=5$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

Równanie prostej wyznaczasz z dwóch informacji. Gdy masz punkty, najpierw szukasz nachylenia; gdy masz prostą równoległą, nachylenie przepisujesz.

Zapamiętaj

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

po obliczeniu $a$ podstaw punkt do $y=ax+b$

równoległość: taki sam $a$

takie samo $x$ w dwóch punktach: prosta pionowa