Równanie ogólne prostej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się pracować z prostą zapisaną w postaci ogólnej. Sprawdzisz punkt, przekształcisz równanie do postaci kierunkowej i znajdziesz punkty przecięcia z osiami.

Na start

$Ax+By+C=0$

postać ogólna opisuje także proste pionowe

postać kierunkowa lepiej pokazuje nachylenie

Po tej lekcji:

rozpoznasz równanie ogólne prostej
zamienisz postać ogólną na kierunkową
znajdziesz przecięcia prostej z osiami

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Postać ogólna prostej

Równanie ogólne ma wszystkie składniki po jednej stronie, a po drugiej stronie stoi $0$ . Liczby $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie zerami.

$Ax+By+C=0$

$A^2+B^2\ne0$

PRZYKŁAD

Czy równanie $2x-3y+6=0$ jest równaniem ogólnym prostej?

Rozwiązanie

Porównujemy z $Ax+By+C=0$ . Mamy $A=2$ , $B=-3$ , $C=6$ . Liczby $A$ i $B$ nie są jednocześnie zerami.

02WYJAŚNIENIE

Sprawdzanie punktu

W postaci ogólnej punkt leży na prostej, jeśli po podstawieniu współrzędnych lewa strona równania daje $0$ .

PRZYKŁAD

Sprawdź, czy punkt $P=(3,4)$ leży na prostej $2x-y-2=0$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=3$ i $y=4$ : $2\cdot3-4-2=0$ . Wynik jest równy $0$ , więc punkt leży na prostej.

Wskazówka

W postaci ogólnej nie porównujesz wyniku z $y$ . Po podstawieniu ma wyjść $0$ .

03WYJAŚNIENIE

Zamiana na postać kierunkową

Żeby z równania ogólnego odczytać $a$ i $b$ , wyznacz $y$ , czyli zostaw $y$ samo po jednej stronie.

PRZYKŁAD

Przekształć równanie $2x-y+3=0$ do postaci kierunkowej.

Rozwiązanie

$2x-y+3=0$

$-y=-2x-3$

$y=2x+3$ . Stąd $a=2$ i $b=3$ .

Wskazówka

Jeśli przy $y$ stoi minus, na końcu zwykle trzeba zmienić znaki po obu stronach.

04WYJAŚNIENIE

Współczynnik z postaci ogólnej

Jeśli $B\ne0$ , równanie ogólne można przekształcić do postaci kierunkowej i odczytać współczynnik bez pełnego rachunku.

$Ax+By+C=0$

$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$

$a=-\frac{A}{B},\quad b=-\frac{C}{B}$

PRZYKŁAD

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej $3x+2y-8=0$ .

Rozwiązanie

Mamy $A=3$ i $B=2$ . Korzystamy z $a=-\frac{A}{B}$ , więc $a=-\frac{3}{2}$ . Prosta jest malejąca.

Wskazówka

We wzorze jest minus. Dla $3x+2y-8=0$ nie wychodzi $\frac{3}{2}$ , tylko $-\frac{3}{2}$ .

05WYJAŚNIENIE

Przecięcia z osiami

Punkt na osi $y$ ma $x=0$ , a punkt na osi $x$ ma $y=0$ .

Prosta 2x+5y-10=0 przecina osie w punktach (0,2) i (5,0).

Z osią $y$ : podstaw $x=0$ .

Z osią $x$ : podstaw $y=0$ .

PRZYKŁAD

Znajdź przecięcia prostej $2x+5y-10=0$ z osiami.

Rozwiązanie

Dla osi $y$ : $x=0$ , więc $5y-10=0$ i $y=2$ . Punkt to $(0,2)$ . Dla osi $x$ : $y=0$ , więc $2x-10=0$ i $x=5$ . Punkt to $(5,0)$ .

06WYJAŚNIENIE

Proste poziome i pionowe

Postać ogólna opisuje też proste, których nie widać wygodnie w postaci kierunkowej. Prosta pionowa ma równanie $x=c$ , a pozioma $y=b$ .

$x=c\quad\Leftrightarrow\quad x-c=0$

$y=b\quad\Leftrightarrow\quad y-b=0$

$B=0$ oznacza prostą pionową, jeśli $A\ne0$ .

PRZYKŁAD

Jaką prostą opisuje równanie $5x-10=0$ ?

Rozwiązanie

$5x-10=0$ , więc $5x=10$ i $x=2$ . To prosta pionowa.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Postać kierunkowa prostej $2x-y+5=0$ to:

$y=2x+5$

$y=-2x+5$

$y=2x-5$

$y=-2x-5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$y=2x+5$

$2x-y+5=0$ , więc $-y=-2x-5$ , a po pomnożeniu przez $-1$ : $y=2x+5$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Punkt przecięcia prostej $x+4y-8=0$ z osią $y$ to:

$(8,0)$

$(0,8)$

$(0,2)$

$(2,0)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(0,2)$

Na osi $y$ mamy $x=0$ . Wtedy $4y-8=0$ , więc $y=2$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

Postać ogólna jest elastyczna: opisuje proste zwykłe, poziome i pionowe. Gdy chcesz odczytać nachylenie, przekształć ją do postaci kierunkowej.

Zapamiętaj

$Ax+By+C=0$

$a=-\frac{A}{B}$ dla $B\ne0$

z osią $y$ : podstaw $x=0$

z osią $x$ : podstaw $y=0$