Równanie kierunkowe prostej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się czytać równanie prostej w postaci $y=ax+b$ . Odczytasz z niego nachylenie, punkt przecięcia z osią $y$ , narysujesz prostą bez długiej tabeli i sprawdzisz, czy dany punkt do niej należy.

Na start

$a$ mówi o nachyleniu prostej

$b$ mówi o przecięciu z osią $y$

punkt leży na prostej, gdy spełnia jej równanie

Po tej lekcji:

odczytasz współczynnik kierunkowy i wyraz wolny z równania prostej
narysujesz prostą z punktu przecięcia z osią y i nachylenia
sprawdzisz, czy punkt leży na prostej

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Postać kierunkowa

Postać kierunkowa prostej mówi, jak dla podanej wartości $x$ obliczyć odpowiadającą wartość $y$ .

$y=ax+b$

$a$ to współczynnik kierunkowy

$b$ to wyraz wolny

PRZYKŁAD

W równaniu $y=2x-3$ wskaż współczynnik kierunkowy i wyraz wolny.

Rozwiązanie

Porównujemy z postacią $y=ax+b$ . Liczba przy $x$ to $a=2$ , a liczba dodawana na końcu to $b=-3$ .

Zapamiętaj

$y=2x-3:\quad a=2,\ b=-3$

$y=-\frac{1}{2}x+4:\quad a=-\frac{1}{2},\ b=4$

Wskazówka

Znak minus należy do liczby. W równaniu $y=-3x+5$ współczynnik kierunkowy to $-3$ .

02WYJAŚNIENIE

Co oznacza wyraz wolny?

Wyraz wolny $b$ mówi, gdzie prosta przecina oś $y$ . Na osi $y$ zawsze mamy $x=0$ .

Prosta y=3x+2 przecina oś y w punkcie (0,2).

$y=ax+b$

$x=0\Rightarrow y=b$

Punkt przecięcia z osią $y$ ma postać $(0,b)$ .

PRZYKŁAD

W którym punkcie prosta $y=3x+2$ przecina oś $y$ ?

Rozwiązanie

Na osi $y$ podstawiamy $x=0$ . Dostajemy $y=3\cdot0+2=2$ , więc punkt przecięcia to $(0,2)$ .

03WYJAŚNIENIE

Co oznacza współczynnik kierunkowy?

Współczynnik kierunkowy mówi, jak zmienia się $y$ , gdy $x$ zwiększa się o $1$ .

Współczynnik kierunkowy jako krok o 1 w prawo i 3 w górę.

$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Symbol $\Delta$ oznacza zmianę.

PRZYKŁAD

Co oznacza współczynnik $a=3$ w równaniu $y=3x-1$ ?

Rozwiązanie

$3=\frac{3}{1}$ , więc przy przejściu o $1$ w prawo wartość $y$ rośnie o $3$ . Prosta jest rosnąca, bo $a>0$ .

Zapamiętaj

$a>0$ : prosta rośnie

$a<0$ : prosta maleje

$a=0$ : prosta jest pozioma

04WYJAŚNIENIE

Jak narysować prostą z równania?

Do narysowania prostej wystarczą dwa punkty. W postaci kierunkowej zaczynasz od $(0,b)$ , a drugi punkt dostajesz z kroku opisanego przez $a$ .

Rysowanie prostej y=2/3 x - 1 przez punkt (0,-1) i krok 3 w prawo, 2 w górę.

Odczytaj $b$ i zaznacz $(0,b)$ .

Zapisz $a$ jako $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Przejdź o $\Delta x$ w poziomie i o $\Delta y$ w pionie.

PRZYKŁAD

Narysuj prostą $y=\frac{2}{3}x-1$ .

Rozwiązanie

Mamy $b=-1$ , więc start to $(0,-1)$ . Współczynnik $a=\frac{2}{3}$ oznacza krok: $3$ w prawo i $2$ w górę. Drugi punkt to $(3,1)$ .

05WYJAŚNIENIE

Czy punkt leży na prostej?

Punkt $(x,y)$ leży na prostej, jeśli po podstawieniu współrzędnych do równania dostajesz prawdziwą równość.

PRZYKŁAD

Sprawdź, czy punkt $P=(2,5)$ leży na prostej $y=3x-1$ .

Rozwiązanie

Dla $x=2$ prawa strona wynosi $3\cdot2-1=5$ . Druga współrzędna punktu też wynosi $5$ , więc punkt leży na prostej.

Wskazówka

Nie wystarczy podstawić samego $x$ . Wynik trzeba porównać z drugą współrzędną punktu.

06WYJAŚNIENIE

Prosta pionowa

Nie każdą prostą da się zapisać jako $y=ax+b$ . Prosta pionowa ma równanie typu $x=c$ , bo wszystkie jej punkty mają tę samą pierwszą współrzędną.

Pionowa prosta x=3 z punktami mającymi to samo x.

Zapamiętaj

$y=ax+b$

$a>0$ rośnie, $a<0$ maleje, $a=0$ jest pozioma

$(0,b)$ to przecięcie z osią $y$

$x=c$ to prosta pionowa, bez postaci kierunkowej