Odczytywanie własności funkcji z wykresu

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się czytać wykres funkcji jak zbiór informacji. Z jednego rysunku odczytasz, dla jakich argumentów funkcja istnieje, jakie wartości przyjmuje, gdzie przecina oś $x$ i jaki ma znak.

Plan tej lekcji

Najpierw odczytasz wartości funkcji z punktów wykresu.

Potem ustalisz dziedzinę i zbiór wartości.

Na końcu odczytasz miejsca zerowe oraz przedziały dodatniości i ujemności.

Na start

Oś $x$ odpowiada za argumenty.

Oś $y$ odpowiada za wartości funkcji.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć odczytywać z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, znak funkcji oraz wartości dla wybranych argumentów.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Odczytaj wartość funkcji dla argumentu

Aby odczytać $f(2)$ , znajdź na osi $x$ liczbę $2$ , przejdź pionowo do wykresu i odczytaj wysokość punktu na osi $y$ .

Pokazać sposób odczytu wartości $f(2)$ z wykresu.

Przykład

Z wykresu wiadomo, że dla $x=2$ punkt funkcji ma wysokość $y=3$ . Ile wynosi $f(2)$ ?

Rozwiązanie

Szukamy argumentu $x=2$ . Punkt wykresu dla tego argumentu ma współrzędną $y=3$ . Wartość funkcji to współrzędna $y$ . Zatem $f(2)=3$ . Wniosek: Odczyt $f(2)$ zawsze kończy się wartością na osi pionowej.

02WYJAŚNIENIE

Dziedzina z wykresu: patrz w poziomie

Dziedzina to wszystkie argumenty, dla których wykres istnieje. Patrzysz na cień wykresu na osi $x$ : od którego $x$ do którego $x$ pojawiają się punkty.

Przykład

Wykres ma punkty dla wszystkich argumentów od $-4$ do $5$ i nie ma punktów poza tym zakresem. Oba końce są zamalowane. Podaj dziedzinę.

Rozwiązanie

Dziedzina dotyczy argumentów, więc patrzymy na oś $x$ . Najmniejszy argument to $-4$ . Największy argument to $5$ . Zamalowane końce oznaczają, że $-4$ i $5$ należą do dziedziny. Dziedzina to $[-4,5]$ . Wniosek: Funkcja jest określona dla każdego argumentu od $-4$ do $5$ , razem z końcami.

Wskazówka

Nie odczytuj dziedziny z osi $y$ . Dziedzina zawsze dotyczy osi poziomej.

03WYJAŚNIENIE

Zbiór wartości z wykresu: patrz w pionie

Zbiór wartości to wszystkie wysokości, które osiąga wykres. Patrzysz, jak nisko i jak wysoko sięga wykres na osi $y$ .

Przykład

Wykres osiąga wszystkie wysokości od $-1$ do $6$ , razem z końcami, i nie osiąga innych wysokości. Podaj zbiór wartości.

Rozwiązanie

Zbiór wartości dotyczy osi $y$ . Najmniejsza wartość funkcji to $-1$ . Największa wartość funkcji to $6$ . Obie wartości są przyjmowane, więc zapisujemy przedział domknięty. Zbiór wartości to $[-1,6]$ . Wniosek: Funkcja może przyjąć każdą wartość od $-1$ do $6$ , razem z końcami.

Zapamiętaj

Dziedzina: poziomo, po osi $x$ .

Zbiór wartości: pionowo, po osi $y$ .

04WYJAŚNIENIE

Miejsca zerowe z wykresu

Miejsca zerowe odczytujesz tam, gdzie wykres przecina albo dotyka osi $x$ . Zapisujesz same argumenty, nie całe punkty.

Pokazać, że miejsca zerowe to wartości $x$ punktów przecięcia z osią $x$.

Przykład

Wykres funkcji przecina oś $x$ w punktach $(-2,0)$ , $(1,0)$ i $(4,0)$ . Podaj miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$ . Z punktu $(-2,0)$ odczytujemy miejsce zerowe $-2$ . Z punktu $(1,0)$ odczytujemy miejsce zerowe $1$ . Z punktu $(4,0)$ odczytujemy miejsce zerowe $4$ . Miejsca zerowe to $-2$ , $1$ , $4$ . Wniosek: Druga współrzędna jest równa zero, ale w odpowiedzi podajemy pierwsze współrzędne.

05WYJAŚNIENIE

Dodatniość i ujemność z wykresu

Znak funkcji odczytujesz z położenia wykresu względem osi $x$ . Nad osią funkcja jest dodatnia, pod osią ujemna.

Przykład

Wykres jest nad osią $x$ na przedziałach $(-3,0)$ i $(2,5)$ , a pod osią na $(0,2)$ . Podaj, gdzie $f(x)<0$ .

Rozwiązanie

Szukamy miejsc, gdzie wykres leży pod osią $x$ . Z opisu wynika, że dzieje się to na przedziale $(0,2)$ . Końców nie dołączamy, bo tam wykres jest na osi albo zmienia znak. Odpowiedź: $f(x)<0$ dla $x\in(0,2)$ . Wniosek: Ujemność funkcji to nie „ujemne argumenty”, tylko ujemne wartości, czyli wykres pod osią $x$ .

Wskazówka

Nie myl ujemnych argumentów z ujemnymi wartościami. Funkcja może być dodatnia dla ujemnych $x$ , jeśli wykres leży wtedy nad osią.

06WYJAŚNIENIE

Punkty otwarte i zamknięte na końcach

Pełne kółko należy do wykresu, a puste nie. Puste kółko wyklucza tylko ten konkretny punkt. Argument lub wartość mogą nadal występować w innym punkcie wykresu, więc przed ich wykluczeniem sprawdź cały rysunek.

Przedział od minus 2 bez tego końca do 3 wraz z tym końcem.

$\text{pełne kółko} \Rightarrow \text{dołączamy}$

\qquad

$\text{puste kółko} \Rightarrow \text{nie dołączamy}$

Przykład

Wykres istnieje dla argumentów od $-2$ do $3$ , przy $-2$ jest puste kółko, a przy $3$ pełne. Podaj dziedzinę.

Rozwiązanie

Dziedzina dotyczy osi $x$ . Puste kółko przy $-2$ oznacza, że $-2$ nie należy do dziedziny. Pełne kółko przy $3$ oznacza, że $3$ należy do dziedziny. Dziedzina to $(-2,3]$ . Wniosek: Nawias okrągły wyklucza koniec, a kwadratowy go dołącza.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Jeśli z wykresu odczytujemy punkt $(4,-2)$ , to:

$f(4)=-2$

$f(-2)=4$

$f(4)=2$

$f(-4)=2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$f(4)=-2$

Pierwsza współrzędna to argument, druga to wartość funkcji.

PYTANIE 02

Wykres funkcji jest narysowany od $x=-1$ do $x=6$ , oba końce należą do wykresu. Dziedzina to:

$(-1,6)$

$[-1,6]$

$[-6,1]$

$\{-1,6\}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$[-1,6]$

Funkcja istnieje dla wszystkich $x$ od $-1$ do $6$ , razem z końcami.

PYTANIE 03

Wykres przecina oś $x$ w punktach $(-5,0)$ i $(2,0)$ . Miejsca zerowe to:

$0$ i $0$

$-5$ i $2$

$(-5,0)$ i $(2,0)$

$5$ i $-2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-5$ i $2$

Miejsca zerowe to argumenty punktów przecięcia z osią $x$ , czyli $-5$ i $2$ .

PYTANIE 04

Jeśli wykres leży nad osią $x$ dla $x\in(1,4)$ , to na tym przedziale:

$f(x)<0$

$f(x)=0$

$f(x)>0$

$x<0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(x)>0$

Nad osią $x$ wartości funkcji są dodatnie.

NA KONIEC

Co zapamiętać z odczytywania wykresu?

Z wykresu funkcji odczytujesz argumenty na osi $x$ , a wartości na osi $y$ . Dziedzina to poziomy zasięg wykresu, a zbiór wartości to zasięg pionowy. Miejsca zerowe leżą na osi $x$ . Funkcja jest dodatnia nad osią $x$ , ujemna pod osią $x$ , a równa zero na osi. Puste i pełne kółka decydują, czy końce przedziałów należą do odpowiedzi.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Odczytaj wartość funkcji dla argumentu

Dziedzina z wykresu: patrz w poziomie

Zbiór wartości z wykresu: patrz w pionie

Miejsca zerowe z wykresu

Dodatniość i ujemność z wykresu

Punkty otwarte i zamknięte na końcach

Teraz Twoja kolej

Jeśli z wykresu odczytujemy punkt (4,−2)(4,-2)(4,−2), to:

Wykres funkcji jest narysowany od x=−1x=-1x=−1 do x=6x=6x=6, oba końce należą do wykresu. Dziedzina to:

Wykres przecina oś xxx w punktach (−5,0)(-5,0)(−5,0) i (2,0)(2,0)(2,0). Miejsca zerowe to:

Jeśli wykres leży nad osią xxx dla x∈(1,4)x\in(1,4)x∈(1,4), to na tym przedziale:

Co zapamiętać z odczytywania wykresu?

Jeśli z wykresu odczytujemy punkt $(4,-2)$ , to:

Wykres funkcji jest narysowany od $x=-1$ do $x=6$ , oba końce należą do wykresu. Dziedzina to:

Wykres przecina oś $x$ w punktach $(-5,0)$ i $(2,0)$ . Miejsca zerowe to:

Jeśli wykres leży nad osią $x$ dla $x\in(1,4)$ , to na tym przedziale: