Monotoniczność oraz wartości najmniejsze i największe

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się opisywać, jak zachowuje się wykres, gdy idziesz po nim od lewej do prawej. Będziesz rozpoznawać przedziały, na których funkcja rośnie, maleje albo jest stała, oraz odczytywać jej najmniejszą i największą wartość.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz rośnięcie i malenie na wykresie.

Potem nauczysz się zapisywać przedziały monotoniczności.

Na końcu odczytasz wartość najmniejszą i największą funkcji.

Na start

Monotoniczność czytasz od lewej do prawej.

Wartość najmniejsza i największa dotyczy wysokości wykresu, czyli osi $y$ .

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć odczytywać z wykresu, gdzie funkcja rośnie, maleje albo jest stała, oraz wskazywać jej wartość najmniejszą i największą.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Funkcja rośnie, gdy wykres idzie w górę

Funkcja rośnie na przedziale, jeśli przy zwiększaniu argumentu wartości funkcji też się zwiększają. Na wykresie oznacza to, że idąc od lewej do prawej, idziesz w górę.

Pokazać, że funkcję rosnącą rozpoznaje się po ruchu wykresu w górę od lewej do prawej.

$x_1<x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)<f(x_2)$

Przykład

Na przedziale $[0,4]$ wykres idzie stale w górę. Jaką monotoniczność ma funkcja na tym przedziale?

Rozwiązanie

Patrzymy na wykres od lewej do prawej. Gdy $x$ rośnie od $0$ do $4$ , wysokość wykresu rośnie. Wartości funkcji stają się większe. Funkcja jest rosnąca na $[0,4]$ . Wniosek: Rosnąca funkcja nie oznacza dodatnich wartości. Oznacza, że wartości zwiększają się przy przesuwaniu w prawo.

02WYJAŚNIENIE

Funkcja maleje, gdy wykres idzie w dół

Funkcja maleje na przedziale, jeśli przy większych argumentach ma coraz mniejsze wartości. Na wykresie idziesz wtedy od lewej do prawej w dół.

$x_1<x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)>f(x_2)$

Przykład

Wykres na przedziale $[-3,1]$ opada od wartości $5$ do wartości $-1$ . Co można powiedzieć o funkcji na tym przedziale?

Rozwiązanie

Patrzymy od lewej do prawej. Gdy $x$ rośnie od $-3$ do $1$ , wartości funkcji spadają. Wykres idzie w dół. Funkcja jest malejąca na $[-3,1]$ . Wniosek: Funkcja malejąca może mieć część wartości dodatnich. Ważny jest kierunek zmian, nie sam znak wartości.

Wskazówka

Nie oceniaj monotoniczności po tym, czy wartości są dodatnie czy ujemne. Funkcja rośnie albo maleje zależnie od tego, jak zmieniają się wartości przy przesuwaniu w prawo.

03WYJAŚNIENIE

Funkcja stała ma poziomy wykres

Funkcja jest stała na przedziale, jeśli przez cały ten przedział przyjmuje tę samą wartość. Na wykresie widzisz poziomy odcinek.

$f(x)=3 \quad \text{dla każdego } x \text{ z danego przedziału}$

Przykład

Na przedziale $[2,6]$ wykres jest poziomym odcinkiem na wysokości $y=3$ . Co to oznacza?

Rozwiązanie

Dla każdego argumentu od $2$ do $6$ wysokość wykresu jest taka sama. Wartość funkcji cały czas wynosi $3$ . Funkcja nie rośnie i nie maleje na tym przedziale. Funkcja jest stała na $[2,6]$ . Wniosek: Poziomy odcinek oznacza brak zmiany wartości funkcji.

Zapamiętaj

Rosnąca: w prawo i w górę.

Malejąca: w prawo i w dół.

Stała: poziomo.

04WYJAŚNIENIE

Przedziały monotoniczności z wykresu łamanego

Jeśli wykres zmienia kierunek, dzielisz go na przedziały. Na każdym przedziale osobno opisujesz, czy funkcja rośnie, maleje czy jest stała.

Pokazać zmianę monotoniczności: maleje do $x=0$, potem rośnie.

Przykład

Funkcja maleje na odcinku od $x=-4$ do $x=0$ , a rośnie od $x=0$ do $x=5$ . Podaj przedziały monotoniczności.

Rozwiązanie

Od $-4$ do $0$ wykres idzie w dół, więc funkcja maleje na $[-4,0]$ . Od $0$ do $5$ wykres idzie w górę, więc funkcja rośnie na $[0,5]$ . Punkt $x=0$ jest miejscem zmiany kierunku. Wniosek: Funkcja może mieć różną monotoniczność na różnych częściach dziedziny.

05WYJAŚNIENIE

Wartość najmniejsza to najniższy punkt wykresu

Wartość najmniejsza funkcji to najmniejsza wysokość, jaką osiąga wykres. Szukasz najniższego punktu, a potem odczytujesz jego współrzędną $y$ .

Przykład

Najniższy punkt wykresu to $(1,-4)$ . Jaka jest wartość najmniejsza funkcji?

Rozwiązanie

Wartość funkcji odczytujemy z osi $y$ . Najniższy punkt ma współrzędną $y=-4$ . Wartość najmniejsza funkcji wynosi $-4$ . Argument, dla którego jest osiągana, to $x=1$ . Wniosek: Wartość najmniejsza to $-4$ , a nie punkt $(1,-4)$ . Punkt mówi dodatkowo, gdzie ta wartość występuje.

Wskazówka

Nie myl wartości najmniejszej z argumentem. Jeśli najniższy punkt to $(1,-4)$ , wartość najmniejsza to $-4$ , a argument to $1$ .

06WYJAŚNIENIE

Wartość największa to najwyższy punkt wykresu

Wartość największa funkcji to największa wysokość wykresu. Jeśli najwyższy punkt należy do wykresu, odczytujesz jego współrzędną $y$ .

Pokazać różnicę między wartością najmniejszą, wartością największą i argumentami, dla których są osiągane.

Przykład

Najwyższy punkt wykresu to $(-2,6)$ . Jaka jest wartość największa funkcji i dla jakiego argumentu jest osiągana?

Rozwiązanie

Wartość największa to współrzędna $y$ najwyższego punktu. W punkcie $(-2,6)$ współrzędna $y$ wynosi $6$ . Wartość największa funkcji to $6$ . Jest osiągana dla argumentu $x=-2$ . Wniosek: Funkcja nigdzie na wykresie nie ma wartości większej niż $6$ .

07WYJAŚNIENIE

Puste kółko nie daje ekstremum

Puste kółko nie jest punktem wykresu i samo nie daje wartości największej ani najmniejszej. Trzeba jednak sprawdzić, czy ta sama wysokość nie jest osiągana w innym, należącym do wykresu punkcie.

Przykład

Wykres zbliża się od dołu do wysokości $5$ , ale żaden jego punkt nie ma wysokości $5$ ani większej. Czy wartość największa wynosi $5$ ?

Rozwiązanie

Nie. Wartość największa musi być osiągnięta. Tutaj funkcja przyjmuje wartości coraz bliższe $5$ , ale mniejsze od $5$ , więc żadna z nich nie jest największa.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Jeśli wykres od lewej do prawej idzie w górę, to funkcja na tym fragmencie:

rośnie

maleje

jest stała

ma zawsze wartości dodatnie

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

rośnie

Rosnąca funkcja ma coraz większe wartości przy coraz większych argumentach.

PYTANIE 02

Jeśli wykres jest poziomy na przedziale $[1,4]$ , to funkcja na tym przedziale:

rośnie

maleje

jest stała

nie jest funkcją

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

jest stała

Poziomy wykres oznacza, że funkcja przyjmuje tę samą wartość dla wszystkich argumentów z przedziału.

PYTANIE 03

Najniższy punkt wykresu to $(3,-2)$ . Wartość najmniejsza funkcji wynosi:

$3$

$-2$

$(3,-2)$

$1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-2$

Wartość funkcji to współrzędna $y$ , więc wartość najmniejsza wynosi $-2$ .

PYTANIE 04

Najwyższy punkt wykresu to $(-1,7)$ . Wartość największa jest osiągana dla argumentu:

$-1$

$7$

$0$

$-7$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-1$

Argument to współrzędna $x$ , więc wartość największa $7$ jest osiągana dla $x=-1$ .

PYTANIE 05

Funkcja maleje na $[-3,0]$ i rośnie na $[0,4]$ . Punkt zmiany kierunku jest przy:

$x=-3$

$x=0$

$x=4$

$x=1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=0$

Funkcja kończy maleć przy $0$ i od $0$ zaczyna rosnąć, więc zmiana kierunku jest przy $x=0$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o monotoniczności i ekstremach?

Monotoniczność odczytujesz z wykresu od lewej do prawej. Jeśli wykres idzie w górę, funkcja rośnie. Jeśli idzie w dół, funkcja maleje. Jeśli jest poziomy, funkcja jest stała. Wartość najmniejsza to najniższa osiągana wysokość wykresu, a wartość największa to najwyższa osiągana wysokość. Przy pustych kółkach pamiętaj, że funkcja tej wartości nie przyjmuje.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Funkcja rośnie, gdy wykres idzie w górę

Funkcja maleje, gdy wykres idzie w dół

Funkcja stała ma poziomy wykres

Przedziały monotoniczności z wykresu łamanego

Wartość najmniejsza to najniższy punkt wykresu

Wartość największa to najwyższy punkt wykresu

Puste kółko nie daje ekstremum

Teraz Twoja kolej

Jeśli wykres od lewej do prawej idzie w górę, to funkcja na tym fragmencie:

Jeśli wykres jest poziomy na przedziale [1,4][1,4][1,4], to funkcja na tym przedziale:

Najniższy punkt wykresu to (3,−2)(3,-2)(3,−2). Wartość najmniejsza funkcji wynosi:

Najwyższy punkt wykresu to (−1,7)(-1,7)(−1,7). Wartość największa jest osiągana dla argumentu:

Funkcja maleje na [−3,0][-3,0][−3,0] i rośnie na [0,4][0,4][0,4]. Punkt zmiany kierunku jest przy:

Co zapamiętać o monotoniczności i ekstremach?

Jeśli wykres jest poziomy na przedziale $[1,4]$ , to funkcja na tym przedziale:

Najniższy punkt wykresu to $(3,-2)$ . Wartość najmniejsza funkcji wynosi:

Najwyższy punkt wykresu to $(-1,7)$ . Wartość największa jest osiągana dla argumentu:

Funkcja maleje na $[-3,0]$ i rośnie na $[0,4]$ . Punkt zmiany kierunku jest przy: