Miejsca zerowe i znak funkcji

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się odczytywać z wykresu, kiedy funkcja jest równa zero, dodatnia albo ujemna. Zobaczysz też, jak znaleźć miejsce zerowe ze wzoru.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz miejsce zerowe jako punkt przecięcia z osią $x$ .

Potem obliczysz miejsce zerowe z równania $f(x)=0$ .

Na końcu odczytasz znak funkcji z położenia wykresu względem osi $x$ .

Na start

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$ .

Znak funkcji zależy od tego, czy wykres jest nad osią $x$ , na osi $x$ , czy pod osią $x$ .

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć rozpoznawać miejsca zerowe funkcji oraz odczytywać, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne i równe zero.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Miejsce zerowe leży na osi $x$

Miejsce zerowe funkcji to taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ . Na wykresie oznacza to punkt, w którym wykres dotyka albo przecina oś $x$ .

Pokazać, że miejsce zerowe to argument punktu przecięcia wykresu z osią $x$.

$f(x)=0$

Przykład

Wykres funkcji przecina oś $x$ w punkcie $(3,0)$ . Jakie jest miejsce zerowe funkcji?

Rozwiązanie

Punkt przecięcia z osią $x$ ma współrzędną $y=0$ . Miejsce zerowe to argument, czyli współrzędna $x$ . W punkcie $(3,0)$ współrzędna $x$ wynosi $3$ . Miejscem zerowym jest $x=3$ . Wniosek: Funkcja ma wartość $0$ dla argumentu $3$ , czyli $f(3)=0$ .

02WYJAŚNIENIE

Miejsce zerowe ze wzoru

Jeśli funkcja jest opisana wzorem, miejsce zerowe znajdujesz przez przyrównanie wzoru do zera. Szukasz argumentu, który daje wartość $0$ .

$f(x)=2x-6$

\qquad

$2x-6=0$

Przykład

Znajdź miejsce zerowe funkcji $f(x)=2x-6$ .

Rozwiązanie

Miejsce zerowe spełnia warunek $f(x)=0$ . Zapisujemy równanie $2x-6=0$ . Dodajemy $6$ : $2x=6$ . Dzielimy przez $2$ : $x=3$ . Miejscem zerowym jest $3$ . Wniosek: Dla $x=3$ mamy $f(3)=2\cdot3-6=0$ .

Zapamiętaj

Miejsce zerowe to argument, nie punkt.

Punkt na wykresie ma postać $(3,0)$ , a miejsce zerowe to $x=3$ .

03WYJAŚNIENIE

Znak funkcji z wykresu

Jeśli wykres leży nad osią $x$ , funkcja ma wartości dodatnie. Jeśli leży pod osią $x$ , ma wartości ujemne. Na osi $x$ wartość funkcji jest równa zero.

Pokazać, jak położenie wykresu względem osi $x$ przekłada się na znak funkcji.

Nad osią $x$ : $f(x)>0$ .

Na osi $x$ : $f(x)=0$ .

Pod osią $x$ : $f(x)<0$ .

Przykład

Wykres funkcji jest nad osią $x$ dla $x<2$ , przecina oś w $x=2$ , a potem jest pod osią. Podaj znak funkcji.

Rozwiązanie

Dla $x<2$ wykres jest nad osią, więc $f(x)>0$ . Dla $x=2$ wykres leży na osi, więc $f(2)=0$ . Dla $x>2$ wykres jest pod osią, więc $f(x)<0$ . Wniosek: Znak funkcji czytamy z położenia wykresu względem osi $x$ , nie z samego kształtu wykresu.

04WYJAŚNIENIE

Funkcja może mieć kilka miejsc zerowych

Wykres może przeciąć oś $x$ więcej niż raz. Wtedy funkcja ma kilka miejsc zerowych i znak funkcji sprawdzamy na przedziałach między nimi.

Wykres przecinający oś x w punktach -1 i 4, dodatni pomiędzy nimi i ujemny poza nimi.

Przykład

Funkcja ma miejsca zerowe $-1$ i $4$ . Jej wykres jest pod osią dla $x<-1$ , nad osią dla $-1<x<4$ , i pod osią dla $x>4$ . Podaj, gdzie funkcja jest dodatnia.

Rozwiązanie

Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $x$ . Z opisu wynika, że nad osią jest między miejscami zerowymi. Zapisujemy przedział $(-1,4)$ . Końców nie dołączamy, bo w $-1$ i $4$ funkcja jest równa zero. Wniosek: Funkcja ma wartości dodatnie dla argumentów większych od $-1$ i mniejszych od $4$ .

Wskazówka

Nie dołączaj miejsc zerowych do przedziału, na którym $f(x)>0$ albo $f(x)<0$ . W miejscach zerowych funkcja jest równa $0$ , a nie dodatnia ani ujemna.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Jeśli $f(5)=0$ , to:

$5$ jest miejscem zerowym funkcji

$0$ jest argumentem funkcji

funkcja jest dodatnia dla $x=5$

funkcja nie istnieje dla $x=5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5$ jest miejscem zerowym funkcji

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

PYTANIE 02

Miejsce zerowe funkcji $f(x)=x-7$ wynosi:

$-7$

$0$

$7$

$1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$7$

Rozwiązujemy $x-7=0$ , więc $x=7$ .

PYTANIE 03

Jeśli wykres funkcji leży pod osią $x$ , to:

$f(x)>0$

$f(x)=0$

$f(x)<0$

$x=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(x)<0$

Wartości pod osią $x$ mają ujemną współrzędną $y$ , więc $f(x)<0$ .

PYTANIE 04

Funkcja ma miejsca zerowe $2$ i $6$ , a jej wykres jest nad osią tylko między nimi. Gdzie $f(x)>0$ ?

$[2,6]$

$(2,6)$

$(-\infty,2)$

$(6,\infty)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(2,6)$

Funkcja jest dodatnia między miejscami zerowymi. Punktów $2$ i $6$ nie dołączamy, bo tam $f(x)=0$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o miejscach zerowych i znaku?

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego $f(x)=0$ . Na wykresie jest to punkt przecięcia z osią $x$ , ale miejscem zerowym jest sama współrzędna $x$ . Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $x$ , ujemna tam, gdzie leży pod osią, i równa zero tam, gdzie leży na osi $x$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Miejsce zerowe leży na osi xxx

Miejsce zerowe ze wzoru

Znak funkcji z wykresu

Funkcja może mieć kilka miejsc zerowych

Teraz Twoja kolej

Jeśli f(5)=0f(5)=0f(5)=0, to:

Miejsce zerowe funkcji f(x)=x−7f(x)=x-7f(x)=x−7 wynosi:

Jeśli wykres funkcji leży pod osią xxx, to:

Funkcja ma miejsca zerowe 222 i 666, a jej wykres jest nad osią tylko między nimi. Gdzie f(x)>0f(x)>0f(x)>0?

Co zapamiętać o miejscach zerowych i znaku?

Miejsce zerowe leży na osi $x$

Jeśli $f(5)=0$ , to:

Miejsce zerowe funkcji $f(x)=x-7$ wynosi:

Jeśli wykres funkcji leży pod osią $x$ , to:

Funkcja ma miejsca zerowe $2$ i $6$ , a jej wykres jest nad osią tylko między nimi. Gdzie $f(x)>0$ ?