Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Funkcje – podstawy i funkcja liniowa · LEKCJA 4 Z 7

Argumenty i wartości funkcji

Pojęcie funkcji

◷ 18 minPoziom: podstawowy5 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się pracować w dwie strony. Gdy dostaniesz argument, policzysz wartość funkcji. Gdy dostaniesz wartość, znajdziesz argument albo argumenty, które ją dają.

Plan tej lekcji

Najpierw obliczysz f(a)f(a) ze wzoru.

Potem odczytasz argumenty i wartości z tabeli.

Na końcu rozwiążesz proste równania typu f(x)=bf(x)=b.

Na start

Argument to liczba podstawiana za xx.

Wartość funkcji to wynik po podstawieniu.

Po tej lekcji:
  • Uczeń ma umieć obliczać wartość funkcji dla danego argumentu oraz znajdować argumenty, dla których funkcja przyjmuje wskazaną wartość.
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Obliczanie wartości funkcji ze wzoru

Aby obliczyć f(3)f(3), wstawiasz 33 w każde miejsce, gdzie we wzorze występuje xx. Potem liczysz zgodnie z kolejnością działań.

Pokazać, że argument podstawia się w każde miejsce \(x\) we wzorze.
Pokazać, że argument podstawia się w każde miejsce \(x\) we wzorze.

f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x

Przykład

Dla funkcji f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x oblicz f(3)f(3).

Rozwiązanie

W miejsce xx podstawiamy 33: f(3)=32−2⋅3f(3)=3^2-2\cdot3. Liczymy potęgę: 32=93^2=9. Liczymy iloczyn: 2⋅3=62\cdot3=6. Odejmujemy: 9−6=39-6=3. Zatem f(3)=3f(3)=3. Wniosek: Argument 33 daje wartość funkcji równą 33.

02WYJAŚNIENIE

Ujemny argument podstawiaj w nawiasie

Gdy argument jest ujemny, zapisuj go w nawiasie. To szczególnie ważne przy potędze, bo (−2)2(-2)^2 i −22-2^2 dają różne wyniki.

(−2)2=4(-2)^2=4

\qquad

−22=−4-2^2=-4

Przykład

Dla funkcji f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x oblicz f(−2)f(-2).

Rozwiązanie

Wstawiamy −2-2 w nawiasie: f(−2)=(−2)2+3⋅(−2)f(-2)=(-2)^2+3\cdot(-2). Liczymy potęgę: (−2)2=4(-2)^2=4. Liczymy iloczyn: 3⋅(−2)=−63\cdot(-2)=-6. Dodajemy: 4+(−6)=−24+(-6)=-2. Zatem f(−2)=−2f(-2)=-2. Wniosek: Nawias przy −2-2 chroni znak ujemny w potędze.

Wskazówka

Nie zapisuj f(−2)=−22+3⋅(−2)f(-2)=-2^2+3\cdot(-2). Bez nawiasu potęga dotyczy tylko liczby 22, a nie całego argumentu −2-2.

03WYJAŚNIENIE

Odczytywanie wartości z tabeli

Jeśli funkcja jest podana tabelą, nie musisz nic liczyć ze wzoru. Znajdujesz argument i odczytujesz wartość z tej samej kolumny.

Przykład

Dla tabeli x−2014f(x)620−3\begin{array}{c|cccc}x&-2&0&1&4\\\hline f(x)&6&2&0&-3\end{array} odczytaj f(4)f(4).

Rozwiązanie

W wierszu xx szukamy argumentu 44. Przechodzimy w dół tej samej kolumny. Wartość pod 44 to −3-3. Zatem f(4)=−3f(4)=-3. Wniosek: Tabela bezpośrednio przypisuje argumentowi 44 wartość −3-3.

Zapamiętaj

W tabeli czytasz pionowo w jednej kolumnie.

Nie porównujesz liczb z różnych kolumn.

04WYJAŚNIENIE

Szukanie argumentu dla danej wartości

Czasem zadanie pyta odwrotnie: dla jakiego argumentu funkcja ma podaną wartość. Wtedy rozwiązujesz równanie f(x)=podana wartosˊcˊf(x)=\text{podana wartość}.

f(x)=2x+1f(x)=2x+1

\qquad

f(x)=7f(x)=7

Przykład

Dla funkcji f(x)=2x+1f(x)=2x+1 znajdź argument, dla którego wartość funkcji wynosi 77.

Rozwiązanie

Zapisujemy równanie 2x+1=72x+1=7. Odejmujemy 11: 2x=62x=6. Dzielimy przez 22: x=3x=3. Sprawdzamy: f(3)=2⋅3+1=7f(3)=2\cdot3+1=7. Wniosek: Wartość 77 funkcja przyjmuje dla argumentu 33.

05WYJAŚNIENIE

Ta sama wartość może mieć kilka argumentów

Funkcja może przyjmować tę samą wartość dla różnych argumentów. To nie łamie warunku funkcji, bo każdy z tych argumentów nadal ma tylko jedną wartość.

Pokazać, że wartość \(9\) funkcji \(f(x)=x^2\) może odpowiadać dwóm argumentom.
Pokazać, że wartość \(9\) funkcji \(f(x)=x^2\) może odpowiadać dwóm argumentom.

f(x)=x2f(x)=x^2

\qquad

f(−3)=9f(-3)=9

\qquad

f(3)=9f(3)=9

Przykład

Dla funkcji f(x)=x2f(x)=x^2 znajdź argumenty, dla których f(x)=9f(x)=9.

Rozwiązanie

Zapisujemy równanie x2=9x^2=9. Szukamy liczb, których kwadrat wynosi 99. Mamy (−3)2=9(-3)^2=9 oraz 32=93^2=9. Argumenty to x=−3x=-3 i x=3x=3. Wniosek: Jedna wartość 99 może być osiągnięta dla dwóch różnych argumentów.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dla funkcji f(x)=4x−5f(x)=4x-5 wartość f(3)f(3) wynosi:

A

77

B

99

C

1212

D

1717

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

77

f(3)=4⋅3−5=12−5=7f(3)=4\cdot3-5=12-5=7.

PYTANIE 02

Dla funkcji f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 wartość f(−2)f(-2) wynosi:

A

−5-5

B

−3-3

C

33

D

55

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

33

f(−2)=(−2)2−1=4−1=3f(-2)=(-2)^2-1=4-1=3.

PYTANIE 03

Jeśli f(x)=3x+2f(x)=3x+2, to argument, dla którego f(x)=11f(x)=11, wynosi:

A

22

B

33

C

44

D

55

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

33

Rozwiązujemy 3x+2=113x+2=11, więc 3x=93x=9, x=3x=3.

PYTANIE 04

Dla funkcji f(x)=x2f(x)=x^2 wartość 44 jest przyjmowana dla argumentów:

A

tylko 22

B

tylko −2-2

C

−2-2 i 22

D

00 i 44

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

−2-2 i 22

(−2)2=4(-2)^2=4 oraz 22=42^2=4.

NA KONIEC

Co zapamiętać o argumentach i wartościach?

Argument to liczba podstawiana za xx, a wartość funkcji to wynik. Aby obliczyć f(a)f(a), podstaw aa w każde miejsce xx. Przy ujemnych argumentach używaj nawiasów. Jeśli znasz wartość i szukasz argumentu, rozwiąż równanie f(x)=bf(x)=b. Jedna wartość funkcji może odpowiadać kilku argumentom.