Dziedzina i zbiór wartości funkcji

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozróżniać dwie rzeczy: jakie argumenty wolno podstawić oraz jakie wartości funkcja może przyjąć. Pierwsza informacja to dziedzina, druga to zbiór wartości.

Plan tej lekcji

Najpierw odczytasz dziedzinę i wartości z tabeli.

Potem zobaczysz je na wykresie jako zasięg w poziomie i w pionie.

Na końcu sprawdzisz dziedzinę prostych wzorów z ograniczeniami.

Na start

Dziedzina dotyczy argumentów $x$ .

Zbiór wartości dotyczy wyników $f(x)$ , czyli wartości na osi $y$ .

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć odczytywać i wyznaczać dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji z tabeli, wykresu i prostego wzoru.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dziedzina to dozwolone argumenty

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Jeśli funkcja jest podana tabelą, dziedzina to liczby z wiersza $x$ .

$D_f=\{-2,0,3,5\}$

Przykład

Odczytaj dziedzinę funkcji z tabeli $\begin{array}{c|cccc}x&-2&0&3&5\\\hline f(x)&4&1&1&7\end{array}$ .

Rozwiązanie

Szukamy argumentów, czyli wartości w wierszu $x$ . W tabeli występują argumenty $-2$ , $0$ , $3$ , $5$ . Zapisujemy je jako zbiór. Dziedzina to $D_f=\{-2,0,3,5\}$ . Wniosek: Funkcja z tej tabeli jest określona tylko dla czterech podanych argumentów.

Zapamiętaj

Symbol $D_f$ oznacza dziedzinę funkcji $f$ .

Przy tabeli dziedzina to lista argumentów.

02WYJAŚNIENIE

Zbiór wartości to możliwe wyniki

Zbiór wartości funkcji to wszystkie wyniki, które funkcja przyjmuje. W tabeli patrzymy na wiersz $f(x)$ , ale powtarzające się wartości zapisujemy tylko raz.

$W_f=\{1,4,7\}$

Przykład

Odczytaj zbiór wartości funkcji z tabeli $\begin{array}{c|cccc}x&-2&0&3&5\\\hline f(x)&4&1&1&7\end{array}$ .

Rozwiązanie

Patrzymy na wartości funkcji w dolnym wierszu: $4$ , $1$ , $1$ , $7$ . Wartość $1$ powtarza się, ale w zbiorze zapisujemy ją tylko raz. Zbiór wartości to $\{1,4,7\}$ . Wniosek: Funkcja osiąga trzy różne wartości: $1$ , $4$ i $7$ .

Wskazówka

Nie przepisuj powtórzonej wartości kilka razy do zbioru wartości. Zbiór nie liczy powtórzeń.

03WYJAŚNIENIE

Na wykresie dziedzina jest w poziomie

Na wykresie dziedzina to wszystkie wartości $x$ , dla których istnieje punkt wykresu. Patrzysz więc, od jakiego $x$ do jakiego $x$ ciągnie się wykres.

Pokazać, że dziedzinę odczytuje się jako poziomy zasięg wykresu.

Przykład

Wykres ma punkt dla każdego argumentu od $x=-3$ do $x=4$ , nie ma przerw ani punktów poza tym zakresem, a oba końce należą do wykresu. Jaka jest dziedzina?

Rozwiązanie

Dziedzina dotyczy osi poziomej, czyli wartości $x$ . Najmniejszy widoczny argument to $-3$ . Największy widoczny argument to $4$ . Oba końce należą do wykresu, więc używamy przedziału domkniętego. Dziedzina to $[-3,4]$ . Wniosek: Można podstawiać każdy argument od $-3$ do $4$ , razem z końcami.

04WYJAŚNIENIE

Na wykresie zbiór wartości jest w pionie

Zbiór wartości odczytujesz z osi pionowej. Szukasz najniższej i najwyższej wartości $y$ , którą przyjmuje wykres.

Pokazać, że zbiór wartości odczytuje się jako pionowy zasięg wykresu.

Same najmniejsza i największa wartość nie gwarantują całego przedziału. Funkcja dana tabelą może np. przyjmować tylko $-2$ i $5$ . Trzeba sprawdzić, czy osiąga również wszystkie wartości pomiędzy nimi.

Przykład

Wykres osiąga wszystkie wysokości od $y=-2$ do $y=5$ i żadnych innych. Obie skrajne wartości są przyjmowane. Jaki jest zbiór wartości?

Rozwiązanie

Zbiór wartości dotyczy wartości funkcji, czyli osi $y$ . Najmniejsza wartość to $-2$ . Największa wartość to $5$ . Obie wartości są osiągane, więc zapisujemy przedział domknięty. Zbiór wartości to $[-2,5]$ . Wniosek: Funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-2$ do $5$ , razem z końcami.

05WYJAŚNIENIE

Dziedzina ze wzoru: uważaj na zakazy

Jeśli funkcja jest opisana wzorem, dziedzina to wszystkie liczby, które wolno podstawić. Najczęściej na poziomie podstawowym pilnujesz, żeby nie dzielić przez zero.

$f(x)=\frac{3}{x-2}$

\qquad

$x-2\neq 0$

\qquad

$x\neq 2$

Przykład

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{3}{x-2}$ .

Rozwiązanie

We wzorze występuje mianownik $x-2$ . Mianownik nie może być równy zero. Zapisujemy warunek $x-2\neq 0$ . Otrzymujemy $x\neq 2$ . Dziedzina to $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Wniosek: Można podstawić każdą liczbę rzeczywistą oprócz $2$ , bo dla $x=2$ byłoby dzielenie przez zero.

Wskazówka

Nie wykluczaj liczby z licznika. Ograniczenie w tym przykładzie pochodzi z mianownika.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dla funkcji z tabeli $\begin{array}{c|ccc}x&-1&2&4\\\hline f(x)&5&5&0\end{array}$ dziedziną jest:

$\{-1,2,4\}$

$\{0,5\}$

$\{-1,0,2,4,5\}$

$\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\{-1,2,4\}$

Dziedzina to argumenty, czyli liczby z wiersza $x$ .

PYTANIE 02

Dla tej samej tabeli $\begin{array}{c|ccc}x&-1&2&4\\\hline f(x)&5&5&0\end{array}$ zbiorem wartości jest:

$\{-1,2,4\}$

$\{0,5\}$

$\{5,5,0\}$

$\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\{0,5\}$

Funkcja przyjmuje wartości $5$ i $0$ . Powtórzonej wartości $5$ nie zapisujemy dwa razy.

PYTANIE 03

Dziedziną funkcji $f(x)=\frac{1}{x+6}$ jest:

$\mathbb{R}\setminus\{-6\}$

$\mathbb{R}\setminus\{6\}$

$\mathbb{R}$

$\{-6\}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\mathbb{R}\setminus\{-6\}$

Mianownik $x+6$ nie może być zerem, więc $x\neq -6$ .

PYTANIE 04

Jeśli wykres funkcji istnieje dla $x$ od $1$ do $8$ , razem z końcami, to dziedzina wynosi:

$(1,8)$

$[1,8]$

$[-8,1]$

$\{1,8\}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$[1,8]$

Skoro końce należą do wykresu, używamy przedziału domkniętego $[1,8]$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o dziedzinie i zbiorze wartości?

Dziedzina funkcji to zbiór dozwolonych argumentów $x$ . Zbiór wartości to zbiór wyników $f(x)$ . W tabeli dziedzinę czytasz z wiersza $x$ , a wartości z wiersza $f(x)$ . Na wykresie dziedzina to zasięg w poziomie, a zbiór wartości to zasięg w pionie. We wzorze zawsze sprawdzaj, czy nie pojawia się zakaz, na przykład dzielenie przez zero.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Dziedzina to dozwolone argumenty

Zbiór wartości to możliwe wyniki

Na wykresie dziedzina jest w poziomie

Na wykresie zbiór wartości jest w pionie

Dziedzina ze wzoru: uważaj na zakazy

Teraz Twoja kolej

Dla funkcji z tabeli x−124f(x)550\begin{array}{c|ccc}x&-1&2&4\\\hline f(x)&5&5&0\end{array}xf(x)​−15​25​40​​ dziedziną jest:

Dla tej samej tabeli x−124f(x)550\begin{array}{c|ccc}x&-1&2&4\\\hline f(x)&5&5&0\end{array}xf(x)​−15​25​40​​ zbiorem wartości jest:

Dziedziną funkcji f(x)=1x+6f(x)=\frac{1}{x+6}f(x)=x+61​ jest:

Jeśli wykres funkcji istnieje dla xxx od 111 do 888, razem z końcami, to dziedzina wynosi:

Co zapamiętać o dziedzinie i zbiorze wartości?

Dla funkcji z tabeli $\begin{array}{c|ccc}x&-1&2&4\\\hline f(x)&5&5&0\end{array}$ dziedziną jest:

Dla tej samej tabeli $\begin{array}{c|ccc}x&-1&2&4\\\hline f(x)&5&5&0\end{array}$ zbiorem wartości jest:

Dziedziną funkcji $f(x)=\frac{1}{x+6}$ jest:

Jeśli wykres funkcji istnieje dla $x$ od $1$ do $8$ , razem z końcami, to dziedzina wynosi: