Związek pierwiastków z potęgami

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji połączysz dwa tematy: potęgi i pierwiastki. Nauczysz się, że pierwiastek można zapisać jako potęgę z wykładnikiem ułamkowym, na przykład $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ . Potem użyjesz tego do prostych przekształceń.

Plan tej lekcji

Najpierw przypomnisz sobie, że pierwiastek odwraca potęgowanie.

Potem zapiszesz pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem $\frac{1}{n}$ .

Następnie zobaczysz zapis $a^{\frac{m}{n}}$ .

Na końcu przećwiczysz wybieranie równoważnych zapisów.

Na start

Mianownik wykładnika ułamkowego odpowiada za stopień pierwiastka.

Licznik wykładnika odpowiada za potęgę.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie zamieniać pierwiastki na potęgi o wykładnikach ułamkowych i korzystać z tego związku w prostych rachunkach.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pierwiastek jako potęga z wykładnikiem $\frac{1}{2}$

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a$ można zapisać jako potęgę $a^{\frac{1}{2}}$ . Oba zapisy oznaczają tę samą liczbę.

Pokazać, że $ \sqrt{a} $ i $ a^{\frac{1}{2}} $ to dwa zapisy tej samej operacji.

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

Przykład

Zapisz $\sqrt{9}$ jako potęgę z wykładnikiem ułamkowym i oblicz.

Rozwiązanie

Pierwiastek kwadratowy zapisujemy jako wykładnik $\frac{1}{2}$ . Mamy $\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}$ . Ponieważ $\sqrt{9}=3$ , to $9^{\frac{1}{2}}=3$ . Zapis $9^{\frac{1}{2}}$ nie oznacza „dziewięć do potęgi pół w zwykłym intuicyjnym sensie mnożenia pół raza”. To umowny zapis pierwiastka kwadratowego.

02WYJAŚNIENIE

Pierwiastek $n$ -tego stopnia jako wykładnik $\frac{1}{n}$

Jeśli pierwiastek ma stopień $n$ , to w zapisie potęgowym pojawia się wykładnik $\frac{1}{n}$ . Stopień pierwiastka trafia do mianownika wykładnika.

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{a}=a^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}$

Przykład

Zapisz $\sqrt[3]{64}$ jako potęgę i oblicz.

Rozwiązanie

Stopień pierwiastka to $3$ , więc używamy wykładnika $\frac{1}{3}$ . Mamy $\sqrt[3]{64}=64^{\frac{1}{3}}$ . Ponieważ $4^3=64$ , mamy $64^{\frac{1}{3}}=4$ . Mianownik $3$ w wykładniku mówi, że chodzi o pierwiastek trzeciego stopnia.

Zapamiętaj

Stopień pierwiastka zawsze idzie do mianownika wykładnika ułamkowego.

03WYJAŚNIENIE

Co oznacza $a^{\frac{m}{n}}$ ?

Wykładnik $\frac{m}{n}$ łączy pierwiastkowanie i potęgowanie. Mianownik $n$ mówi o pierwiastku, a licznik $m$ mówi o potędze. Te reguły stosujemy tutaj dla $a>0$ , całkowitego $m$ i naturalnego $n\ge2$ . Dodatnia podstawa pozwala swobodnie zamieniać kolejność potęgowania i pierwiastkowania.

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Mianownik $n$ : stopień pierwiastka.

Licznik $m$ : potęga.

Dla dodatniego $a$ można też liczyć tak: $a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ .

Przykład

Oblicz $27^{\frac{2}{3}}$ .

Rozwiązanie

Mianownik wykładnika to $3$ , więc bierzemy pierwiastek trzeciego stopnia. Licznik wykładnika to $2$ , więc potem podnosimy do drugiej potęgi. Liczymy pierwiastek: $\sqrt[3]{27}=3$ . Podnosimy wynik do kwadratu: $3^2=9$ . Zatem $27^{\frac{2}{3}}=9$ . W tym przykładzie wygodniej najpierw pierwiastkować, bo $27$ ma prosty pierwiastek trzeciego stopnia.

Wskazówka

Jeśli liczba pod spodem ma łatwy pierwiastek, zwykle najpierw pierwiastkuj, a dopiero potem potęguj.

04WYJAŚNIENIE

Dwa sposoby liczenia tego samego

Wyrażenie $16^{\frac{3}{4}}$ można liczyć przez $\sqrt[4]{16^3}$ , ale zwykle łatwiej najpierw obliczyć $\sqrt[4]{16}$ , a potem podnieść wynik do trzeciej potęgi.

$16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3$

Przykład

Oblicz $16^{\frac{3}{4}}$ .

Rozwiązanie

Mianownik $4$ mówi o pierwiastku czwartego stopnia. Liczymy $\sqrt[4]{16}=2$ , bo $2^4=16$ . Licznik $3$ mówi, że wynik podnosimy do trzeciej potęgi. Liczymy $2^3=8$ . Zatem $16^{\frac{3}{4}}=8$ . Wykładnik $\frac{3}{4}$ oznacza: pierwiastek czwartego stopnia i trzecia potęga.

Wskazówka

Błąd: $16^{\frac{3}{4}}=16^3:16^4$ . Poprawnie wykładnik ułamkowy nie oznacza dzielenia potęg. Oznacza połączenie pierwiastka i potęgi.

05WYJAŚNIENIE

Zamiana zapisu z pierwiastka na potęgę

W zadaniach często nie trzeba nic liczyć. Trzeba tylko rozpoznać, który zapis jest równoważny. Najpierw znajdź stopień pierwiastka, potem potęgę pod pierwiastkiem.

$\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}$

Przykład

Zapisz $\sqrt[4]{a^3}$ w postaci potęgi o wykładniku ułamkowym.

Rozwiązanie

Stopień pierwiastka to $4$ , więc $4$ trafia do mianownika wykładnika. Potęga pod pierwiastkiem to $a^3$ , więc $3$ trafia do licznika wykładnika. Otrzymujemy $a^{\frac{3}{4}}$ . W zapisie $a^{\frac{3}{4}}$ licznik $3$ pochodzi od potęgi, a mianownik $4$ od pierwiastka.

Wskazówka

Przykład: Zapisz $b^{\frac{5}{6}}$ w postaci pierwiastka.

Mianownik $6$ oznacza pierwiastek szóstego stopnia. Licznik $5$ oznacza piątą potęgę. Otrzymujemy $\sqrt[6]{b^5}$ . Przy zamianie w drugą stronę mianownik wykładnika staje się stopniem pierwiastka.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Który zapis jest równoważny $\sqrt[3]{x}$ ?

$x^3$

$x^{\frac{1}{3}}$

$x^{\frac{3}{1}}$

$\frac{x}{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x^{\frac{1}{3}}$

Pierwiastek trzeciego stopnia zapisujemy jako potęgę z wykładnikiem $\frac{1}{3}$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $8^{\frac{2}{3}}$ ?

$2$

$4$

$8$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4$

Najpierw $\sqrt[3]{8}=2$ , potem $2^2=4$ . Zatem $8^{\frac{2}{3}}=4$ .

PYTANIE 03

Który zapis jest równoważny $\sqrt[5]{a^4}$ ?

$a^{\frac{5}{4}}$

$a^{\frac{4}{5}}$

$a^{\frac{1}{9}}$

$a^9$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a^{\frac{4}{5}}$

Stopień pierwiastka $5$ trafia do mianownika, a potęga $4$ do licznika, więc $\sqrt[5]{a^4}=a^{\frac{4}{5}}$ .

PYTANIE 04

Ile wynosi $81^{\frac{1}{4}}$ ?

$3$

$4$

$9$

$27$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3$

Wykładnik $\frac{1}{4}$ oznacza pierwiastek czwartego stopnia. Ponieważ $3^4=81$ , mamy $81^{\frac{1}{4}}=3$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Pierwiastki można zapisywać jako potęgi z wykładnikiem ułamkowym. Mianownik wykładnika odpowiada za stopień pierwiastka, a licznik za potęgę. Dzięki temu zapisy $\sqrt[n]{a^m}$ i $a^{\frac{m}{n}}$ opisują tę samą operację.

Zapamiętaj

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

$a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ , gdy rachunek ma sens w $\mathbb{R}$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Pierwiastek jako potęga z wykładnikiem 12\frac{1}{2}21​

Pierwiastek nnn-tego stopnia jako wykładnik 1n\frac{1}{n}n1​

Co oznacza amna^{\frac{m}{n}}anm​?

Dwa sposoby liczenia tego samego

Zamiana zapisu z pierwiastka na potęgę

Teraz Twoja kolej

Który zapis jest równoważny x3\sqrt[3]{x}3x​?

Ile wynosi 8238^{\frac{2}{3}}832​?

Który zapis jest równoważny a45\sqrt[5]{a^4}5a4​?

Ile wynosi 811481^{\frac{1}{4}}8141​?

Co trzeba zapamiętać?

Pierwiastek jako potęga z wykładnikiem $\frac{1}{2}$

Pierwiastek $n$ -tego stopnia jako wykładnik $\frac{1}{n}$

Co oznacza $a^{\frac{m}{n}}$ ?

Który zapis jest równoważny $\sqrt[3]{x}$ ?

Ile wynosi $8^{\frac{2}{3}}$ ?

Który zapis jest równoważny $\sqrt[5]{a^4}$ ?

Ile wynosi $81^{\frac{1}{4}}$ ?