Działania na pierwiastkach

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się wykonywać podstawowe działania na pierwiastkach. Oddzielisz sytuacje, w których można połączyć liczby pod pierwiastkiem, od sytuacji, w których wolno tylko dodać współczynniki przed takim samym pierwiastkiem.

Plan tej lekcji

Najpierw pomnożysz pierwiastki tego samego stopnia.

Potem podzielisz pierwiastki tego samego stopnia.

Następnie sprawdzisz, kiedy można dodawać i odejmować pierwiastki.

Na końcu przećwiczysz upraszczanie krótkich wyrażeń.

Na start

Mnożenie i dzielenie działa pod pierwiastkiem.

Dodawanie i odejmowanie nie działa pod pierwiastkiem w ten sam sposób.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie mnożyć, dzielić, dodawać i odejmować proste pierwiastki oraz rozpoznaje, kiedy pierwiastki można połączyć.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Mnożenie pierwiastków kwadratowych

Jeśli mnożysz pierwiastki kwadratowe z liczb nieujemnych, możesz pomnożyć liczby pod pierwiastkami i zostawić jeden pierwiastek.

Pokazać, że przy mnożeniu pierwiastków można połączyć liczby pod jednym pierwiastkiem.

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab} \quad \text{dla } a\ge 0,\ b\ge 0$

Przykład

Oblicz $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}$ .

Rozwiązanie

Mnożymy liczby pod pierwiastkami: $2\cdot 8=16$ . Zapisujemy jeden pierwiastek: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}$ . Obliczamy $\sqrt{16}=4$ . Iloczyn dwóch pierwiastków można czasem uprościć do liczby całkowitej.

02WYJAŚNIENIE

Dzielenie pierwiastków

Przy dzieleniu pierwiastków tego samego stopnia można podzielić liczby pod pierwiastkami. Trzeba tylko pamiętać, że w mianowniku nie może być zera.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \quad \text{dla } a\ge 0,\ b>0$

Przykład

Oblicz $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ .

Rozwiązanie

Łączymy pierwiastki w jeden pierwiastek z ilorazu: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}$ . Dzielimy liczby pod pierwiastkiem: $\frac{18}{2}=9$ . Obliczamy pierwiastek: $\sqrt{9}=3$ . Zatem $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=3$ . Dzielenie pierwiastków może usunąć pierwiastek, jeśli pod spodem powstaje liczba będąca kwadratem.

Wskazówka

Nie wolno zapominać o warunku $b>0$ . Wyrażenie $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ nie ma sensu, gdy $b=0$ , bo nie dzielimy przez zero.

03WYJAŚNIENIE

Dodawanie tylko pierwiastków podobnych

Dodawanie pierwiastków działa jak dodawanie podobnych wyrazów algebraicznych. Możesz dodać $3\sqrt{2}$ i $5\sqrt{2}$ , bo mają ten sam pierwiastek. Nie możesz po prostu połączyć $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ w $\sqrt{5}$ .

$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq \sqrt{5}$

Przykład

Uprość $4\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Wszystkie składniki mają ten sam pierwiastek: $\sqrt{3}$ . Dodajemy współczynniki przed pierwiastkiem: $4+2-1=5$ . Zostawiamy ten sam pierwiastek: $5\sqrt{3}$ . Pierwiastek $\sqrt{3}$ działa tu jak wspólna „jednostka”, a my liczymy, ile takich jednostek mamy.

Wskazówka

Najczęstszy błąd: $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ . To nie jest prawda. Na przykład $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ , a $\sqrt{25}=5$ .

Przykład: Czy można uprościć $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ do jednego pierwiastka?

Pierwiastki mają różne liczby pod znakiem pierwiastka. Nie są podobne. Nie wolno zapisać $\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$ . Wyrażenie zostaje $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ . Dodawanie nie wchodzi pod pierwiastek tak jak mnożenie.

04WYJAŚNIENIE

Najpierw uprość, potem dodawaj

Czasem pierwiastki na początku wyglądają na różne, ale po uproszczeniu stają się podobne. Wtedy można je dodać albo odjąć.

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Przykład

Uprość $\sqrt{8}+\sqrt{18}$ .

Rozwiązanie

Rozkładamy $8$ jako $4\cdot 2$ , bo $4$ jest kwadratem: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$ . Rozkładamy $18$ jako $9\cdot 2$ , bo $9$ jest kwadratem: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$ . Teraz dodajemy podobne pierwiastki: $2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ . Przed dodawaniem warto sprawdzić, czy pierwiastki da się sprowadzić do tego samego pierwiastka.

Wskazówka

Przy dodawaniu pierwiastków szukaj największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem: $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ .

05WYJAŚNIENIE

Mnożenie liczby przez pierwiastek

W wyrażeniu $3\sqrt{5}$ liczba $3$ stoi przed pierwiastkiem jako współczynnik. Przy mnożeniu współczynniki mnożymy osobno, a pierwiastki osobno.

$a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$

Przykład

Uprość $2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}$ .

Rozwiązanie

Mnożymy współczynniki: $2\cdot 4=8$ . Mnożymy pierwiastki: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{18}$ . Mamy $8\sqrt{18}$ . Upraszczamy $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$ . Otrzymujemy $8\cdot 3\sqrt{2}=24\sqrt{2}$ . Współczynniki przed pierwiastkiem i liczby pod pierwiastkiem liczymy oddzielnie, a na końcu upraszczamy wynik.

Zapamiętaj

$2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}$ nie daje $6\sqrt{9}$ .

Najpierw mnożysz $2\cdot 4$ , potem $\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$ ?

$6$

$\sqrt{15}$

$3\sqrt{12}$

$12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$6$

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $5\sqrt{2}-2\sqrt{2}$ ?

$3$

$3\sqrt{2}$

$7\sqrt{2}$

$\sqrt{6}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3\sqrt{2}$

Pierwiastki są podobne, więc odejmujemy współczynniki: $5-2=3$ . Wynik to $3\sqrt{2}$ .

PYTANIE 03

Które przekształcenie jest poprawne?

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$

$\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{13}$

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}$

$2\sqrt{3}+3\sqrt{5}=5\sqrt{8}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}$

Przy mnożeniu można połączyć liczby pod pierwiastkami: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}=10$ .

PYTANIE 04

Uprość $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ .

$5\sqrt{3}$

$\sqrt{39}$

$13\sqrt{3}$

$3\sqrt{5}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5\sqrt{3}$

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , a $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ . Suma to $5\sqrt{3}$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Przy mnożeniu i dzieleniu pierwiastków tego samego stopnia można działać na liczbach pod pierwiastkami. Przy dodawaniu i odejmowaniu trzeba mieć pierwiastki podobne, czyli z tą samą liczbą pod pierwiastkiem. Jeśli pierwiastki nie są podobne, najpierw spróbuj je uprościć.

Zapamiętaj

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ , gdy $b>0$

$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq \sqrt{a+b}$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Mnożenie pierwiastków kwadratowych

Dzielenie pierwiastków

Dodawanie tylko pierwiastków podobnych

Najpierw uprość, potem dodawaj

Mnożenie liczby przez pierwiastek

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi 3⋅12\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}3​⋅12​?

Ile wynosi 52−225\sqrt{2}-2\sqrt{2}52​−22​?

Które przekształcenie jest poprawne?

Uprość 12+27\sqrt{12}+\sqrt{27}12​+27​.

Co trzeba zapamiętać?

Ile wynosi $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$ ?

Ile wynosi $5\sqrt{2}-2\sqrt{2}$ ?

Uprość $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ .