Pierwiastki dowolnego stopnia

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się czytać zapis pierwiastka, na przykład $\sqrt{25}$ , $\sqrt[3]{8}$ i $\sqrt[4]{81}$ . Najpierw połączysz pierwiastek z pytaniem „jaka liczba po podniesieniu do potęgi daje daną wartość?”, potem odróżnisz pierwiastki parzystego i nieparzystego stopnia.

Plan tej lekcji

Najpierw przypomnisz sobie sens pierwiastka kwadratowego.

Potem poznasz pierwiastek dowolnego stopnia $n$ .

Następnie sprawdzisz, dlaczego $\sqrt[3]{-8}$ istnieje, a $\sqrt{-8}$ nie istnieje w $\mathbb{R}$ .

Na końcu przećwiczysz szybkie obliczanie pierwiastków z liczb, które są potęgami.

Na start

Pierwiastek jest odwrotnością pytania o potęgowanie.

Stopień pierwiastka mówi, do której potęgi trzeba podnieść wynik.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie odczytywać i obliczać proste pierwiastki kwadratowe, sześcienne i wyższych stopni oraz rozumie, kiedy pierwiastek w liczbach rzeczywistych istnieje.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pierwiastek kwadratowy pyta o drugą potęgę

Zapis $\sqrt{25}$ oznacza: jaka nieujemna liczba podniesiona do drugiej potęgi daje $25$ . Liczba $5$ pasuje, bo $5^2=25$ .

Pokazać, że $ \sqrt{25} $ można rozumieć jako długość boku kwadratu o polu $25$.

$\sqrt{25}=5$

$5^2=25$

Przykład

Oblicz $\sqrt{49}$ .

Rozwiązanie

Szukamy nieujemnej liczby, której druga potęga daje $49$ . Sprawdzamy $7^2=49$ . Zatem $\sqrt{49}=7$ . Pierwiastek kwadratowy z $49$ to taka nieujemna liczba, która pomnożona przez samą siebie daje $49$ .

Wskazówka

Nie zapisujemy $\sqrt{49}=-7$ , mimo że $(-7)^2=49$ . Symbol $\sqrt{49}$ oznacza główny, czyli nieujemny pierwiastek.

02WYJAŚNIENIE

Stopień pierwiastka mówi, którą potęgę odwracasz

W zapisie $\sqrt[n]{a}$ liczba $n$ to stopień pierwiastka. Taki pierwiastek pyta: jaka liczba podniesiona do potęgi $n$ daje $a$ . Stopień $n$ jest liczbą naturalną co najmniej równą $2$ . Dla parzystego stopnia wybieramy wynik nieujemny: $\sqrt[4]{16}=2$ , chociaż również $(-2)^4=16$ .

$\sqrt[n]{a}=b \quad \text{oznacza, że} \quad b^n=a$

$\sqrt{a}$ to pierwiastek drugiego stopnia, czyli kwadratowy.

$\sqrt[3]{a}$ to pierwiastek trzeciego stopnia, czyli sześcienny.

$\sqrt[4]{a}$ pyta o liczbę, której czwarta potęga daje $a$ .

Przy pierwiastku kwadratowym stopnia $2$ zwykle się nie zapisuje.

Przykład

Oblicz $\sqrt[3]{64}$ .

Rozwiązanie

Stopień pierwiastka to $3$ , więc szukamy liczby, której trzecia potęga daje $64$ . Sprawdzamy $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$ . Zatem $\sqrt[3]{64}=4$ . Pierwiastek trzeciego stopnia odwraca podnoszenie do trzeciej potęgi.

Zapamiętaj

$\sqrt[3]{64}=4$ , bo $4^3=64$ .

$\sqrt[4]{81}=3$ , bo $3^4=81$ .

03WYJAŚNIENIE

Pierwiastek sześcienny może być z liczby ujemnej

Przy potędze trzeciej liczba ujemna może dać wynik ujemny. Dlatego pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje w liczbach rzeczywistych.

$(-2)^3=-8$

$\sqrt[3]{-8}=-2$

Przykład

Oblicz $\sqrt[3]{-27}$ .

Rozwiązanie

Szukamy liczby, której trzecia potęga daje $-27$ . Liczba musi być ujemna, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna. Sprawdzamy $(-3)^3=-27$ . Zatem $\sqrt[3]{-27}=-3$ . Pierwiastki nieparzystego stopnia mogą mieć pod pierwiastkiem liczbę ujemną.

04WYJAŚNIENIE

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej

Przy potędze parzystej wynik nie może być ujemny, jeśli podnosimy liczbę rzeczywistą. Zarówno $3^2$ , jak i $(-3)^2$ dają $9$ , a nie $-9$ .

$3^2=9$

$(-3)^2=9$

$\sqrt{-9}\notin \mathbb{R}$

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby dodatniej istnieje.

Pierwiastek parzystego stopnia z zera istnieje i wynosi $0$ .

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ .

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje.

Przykład

Czy $\sqrt[4]{-16}$ istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych?

Rozwiązanie

Stopień pierwiastka to $4$ , czyli liczba parzysta. Czwarta potęga dowolnej liczby rzeczywistej nie jest ujemna. Nie ma liczby rzeczywistej, której czwarta potęga daje $-16$ . Zatem $\sqrt[4]{-16}$ nie istnieje w $\mathbb{R}$ . Problemem nie jest sama liczba $16$ , tylko minus pod pierwiastkiem parzystego stopnia.

Wskazówka

Nie myl $\sqrt[3]{-8}$ z $\sqrt{-8}$ . Pierwszy pierwiastek ma stopień nieparzysty i istnieje, drugi jest pierwiastkiem kwadratowym i nie istnieje w $\mathbb{R}$ .

05WYJAŚNIENIE

Jak szybko liczyć pierwiastki z potęg

Najwygodniej rozpoznawać liczbę pod pierwiastkiem jako potęgę. Jeśli wiesz, że $2^5=32$ , to od razu wiesz, że $\sqrt[5]{32}=2$ .

Sprawdź stopień pierwiastka.

Pomyśl, która liczba podniesiona do tej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem.

Przy stopniu parzystym wynik pierwiastka głównego jest nieujemny.

Przy stopniu nieparzystym znak wyniku może być ujemny.

Przykład

Oblicz $\sqrt[4]{16}$ .

Rozwiązanie

Stopień pierwiastka to $4$ , więc szukamy liczby, której czwarta potęga daje $16$ . Sprawdzamy $2^4=16$ . Pierwiastek parzystego stopnia oznacza wynik nieujemny. Zatem $\sqrt[4]{16}=2$ . Chociaż $(-2)^4=16$ , zapis $\sqrt[4]{16}$ daje główny pierwiastek, czyli $2$ , a nie $-2$ .

Wskazówka

Przykład: Oblicz $\sqrt[5]{-32}$ .

Stopień pierwiastka to $5$ , czyli liczba nieparzysta. Szukamy liczby, której piąta potęga daje $-32$ . Sprawdzamy $(-2)^5=-32$ . Zatem $\sqrt[5]{-32}=-2$ . Przy pierwiastku nieparzystego stopnia wynik może być ujemny.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $\sqrt[3]{125}$ ?

$3$

$4$

$5$

$25$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$5$

Ponieważ $5^3=125$ , mamy $\sqrt[3]{125}=5$ .

PYTANIE 02

Który pierwiastek nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych?

$\sqrt[3]{-27}$

$\sqrt[5]{-32}$

$\sqrt{-16}$

$\sqrt[4]{81}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\sqrt{-16}$

$\sqrt{-16}$ jest pierwiastkiem kwadratowym, czyli parzystego stopnia, z liczby ujemnej. Taki pierwiastek nie istnieje w $\mathbb{R}$ .

PYTANIE 03

Ile wynosi $\sqrt[4]{81}$ ?

$3$

$-3$

$9$

$4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3$

$3^4=81$ , więc $\sqrt[4]{81}=3$ . Wynik pierwiastka parzystego stopnia jest nieujemny.

PYTANIE 04

Ile wynosi $\sqrt[3]{-64}$ ?

$-8$

$-4$

$4$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-4$

Ponieważ $(-4)^3=-64$ , mamy $\sqrt[3]{-64}=-4$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Pierwiastek $\sqrt[n]{a}$ pyta o liczbę, której $n$ -ta potęga daje $a$ . Stopień pierwiastka decyduje o tym, jakiego potęgowania szukasz. Przy pierwiastkach parzystego stopnia z liczb nieujemnych wynik jest nieujemny. Pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych nie istnieją w $\mathbb{R}$ . Pierwiastki nieparzystego stopnia mogą mieć pod pierwiastkiem liczbę ujemną.

Zapamiętaj

$\sqrt[n]{a}=b$ oznacza $b^n=a$ .

$\sqrt{49}=7$ , a nie $-7$ .

$\sqrt[3]{-8}=-2$ .

$\sqrt{-8} \notin \mathbb{R}$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Pierwiastek kwadratowy pyta o drugą potęgę

Stopień pierwiastka mówi, którą potęgę odwracasz

Pierwiastek sześcienny może być z liczby ujemnej

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej

Jak szybko liczyć pierwiastki z potęg

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi 1253\sqrt[3]{125}3125​?

Który pierwiastek nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych?

Ile wynosi 814\sqrt[4]{81}481​?

Ile wynosi −643\sqrt[3]{-64}3−64​?

Co trzeba zapamiętać?

Ile wynosi $\sqrt[3]{125}$ ?

Ile wynosi $\sqrt[4]{81}$ ?

Ile wynosi $\sqrt[3]{-64}$ ?