Wyłączanie i włączanie czynnika pod pierwiastek

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się przenosić czynnik spod pierwiastka przed pierwiastek i odwrotnie. Najpierw rozbijesz liczbę pod pierwiastkiem na kwadrat i resztę, potem użyjesz tego do upraszczania wyrażeń.

Plan tej lekcji

Najpierw wyłączysz czynnik z pierwiastków typu $\sqrt{18}$ , $\sqrt{50}$ , $\sqrt{72}$ .

Potem zobaczysz, jak włączyć czynnik pod pierwiastek, na przykład $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ .

Następnie porównasz oba kierunki przekształcenia.

Na końcu przećwiczysz wybór najwygodniejszej postaci.

Na start

Wyłączanie czynnika zwykle upraszcza zapis.

Włączanie czynnika przydaje się przy porównywaniu i przekształcaniu odpowiedzi.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie wyłączać czynnik przed pierwiastek i włączać czynnik pod pierwiastek w prostych wyrażeniach.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Skąd bierze się wyłączanie czynnika?

Jeśli liczba pod pierwiastkiem ma czynnik będący kwadratem, można go „wyjąć” przed pierwiastek. Działa to dlatego, że $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ .

Pokazać rozbicie $18$ na $9\cdot 2$, aby wyłączyć $3$ przed pierwiastek.

$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Przykład

Wyłącz czynnik przed pierwiastek w wyrażeniu $\sqrt{18}$ .

Rozwiązanie

Szukamy kwadratu, który dzieli $18$ . Liczba $9$ dzieli $18$ , więc zapisujemy $18=9\cdot 2$ . Rozbijamy pierwiastek: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}$ . Wyciągamy pierwiastek z $9$ : $\sqrt{9}=3$ . Otrzymujemy $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ . Zamiast pierwiastka z $18$ mamy prostszy zapis $3\sqrt{2}$ , bo część $9$ dała się spierwiastkować.

02WYJAŚNIENIE

Szukaj największego kwadratu

Najkrótsza metoda polega na znalezieniu największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem. Dzięki temu upraszczasz wyrażenie od razu, bez kilku pośrednich kroków.

Dla pierwiastków kwadratowych szukaj dzielników: $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ .

Wybierz największy kwadrat, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem.

Rozbij liczbę pod pierwiastkiem na $\text{kwadrat}\cdot \text{reszta}$ .

Wyciągnij pierwiastek z kwadratu.

Przykład

Wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{72}$ .

Rozwiązanie

Szukamy największego kwadratu, który dzieli $72$ . Liczba $36$ dzieli $72$ , bo $72=36\cdot 2$ . Zapisujemy $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}$ . Wyciągamy pierwiastek z $36$ : $\sqrt{36}=6$ . Otrzymujemy $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ . Można byłoby zacząć od $72=4\cdot 18$ , ale wtedy trzeba upraszczać dalej. Największy kwadrat skraca pracę.

Wskazówka

Jeśli liczba jest parzysta, najpierw sprawdź $4$ , potem $16$ , potem $36$ , $64$ , $100$ . Jeśli kończy się na $25$ , $50$ , $75$ , sprawdź $25$ .

03WYJAŚNIENIE

Uproszczenie pomaga dodawać pierwiastki

Wyłączanie czynnika często jest potrzebne przed dodawaniem. Dwa pierwiastki mogą wyglądać inaczej, ale po uproszczeniu mają tę samą liczbę pod pierwiastkiem.

$\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

Przykład

Uprość $\sqrt{20}+\sqrt{45}$ .

Rozwiązanie

Upraszczamy pierwszy pierwiastek: $20=4\cdot 5$ , więc $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ . Upraszczamy drugi pierwiastek: $45=9\cdot 5$ , więc $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ . Teraz mamy $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}$ . Dodajemy współczynniki: $2+3=5$ . Wynik to $5\sqrt{5}$ . Na początku pierwiastki nie wyglądały na podobne. Po wyłączeniu czynnika oba zawierają $\sqrt{5}$ , więc można je dodać.

Wskazówka

Nie dodawaj od razu liczb pod pierwiastkami: $\sqrt{20}+\sqrt{45}\neq\sqrt{65}$ . Najpierw trzeba uprościć każdy pierwiastek osobno.

04WYJAŚNIENIE

Włączanie czynnika pod pierwiastek

Włączanie czynnika działa w drugą stronę. Jeśli przed pierwiastkiem stoi liczba dodatnia, to pod pierwiastkiem pojawia się jej kwadrat.

Pokazać, że przy włączaniu $3$ pod pierwiastek trzeba wpisać $3^2$, a nie samo $3$.

$a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b} \quad \text{dla } a\ge 0,\ b\ge 0$

Przykład

Włącz czynnik pod pierwiastek: $3\sqrt{2}$ .

Rozwiązanie

Przed pierwiastkiem stoi liczba $3$ . Pod pierwiastek wchodzi jej kwadrat: $3^2=9$ . Mnożymy $9$ przez liczbę, która już była pod pierwiastkiem: $9\cdot 2=18$ . Otrzymujemy $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ . Liczba przed pierwiastkiem nie wchodzi jako $3$ , tylko jako $3^2$ , bo pierwiastek kwadratowy odwraca drugą potęgę.

05WYJAŚNIENIE

Włączanie przy większych liczbach

Włączanie czynnika pod pierwiastek przydaje się, gdy chcesz porównać liczby zapisane w różnych postaciach albo dopasować odpowiedź do podanych wariantów.

Przykład

Włącz czynnik pod pierwiastek: $5\sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Przed pierwiastkiem stoi liczba $5$ . Pod pierwiastek wpisujemy $5^2$ , czyli $25$ . Mnożymy $25\cdot 3=75$ . Otrzymujemy $5\sqrt{3}=\sqrt{75}$ . Czynnik $5$ przed pierwiastkiem odpowiada czynnikowi $25$ pod pierwiastkiem.

Wskazówka

Gdy porównujesz dodatnie pierwiastki, możesz porównać liczby pod pierwiastkami. Większa liczba pod pierwiastkiem daje większy pierwiastek.

Przykład: Która liczba jest większa: $4\sqrt{2}$ czy $\sqrt{30}$ ?

Włączamy $4$ pod pierwiastek: $4\sqrt{2}=\sqrt{4^2\cdot 2}$ . Liczymy $4^2\cdot 2=16\cdot 2=32$ . Mamy $4\sqrt{2}=\sqrt{32}$ . Porównujemy $\sqrt{32}$ i $\sqrt{30}$ . Ponieważ $32>30$ , to $\sqrt{32}>\sqrt{30}$ . Zatem $4\sqrt{2}>\sqrt{30}$ . Po włączeniu czynnika obie liczby są jednym pierwiastkiem, więc wystarczy porównać liczby pod pierwiastkami.

06WYJAŚNIENIE

Uważaj na znak przed pierwiastkiem

Jeśli przed pierwiastkiem stoi minus, nie można po prostu schować go pod pierwiastek kwadratowy. Znak minus zostaje przed pierwiastkiem, a pod pierwiastek wchodzi kwadrat dodatniego czynnika.

$-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$

$-3\sqrt{2}\neq \sqrt{-18}$

Przykład

Włącz czynnik pod pierwiastek w wyrażeniu $-2\sqrt{5}$ .

Rozwiązanie

Minus zostaje przed pierwiastkiem. Czynnik $2$ wchodzi pod pierwiastek jako $2^2=4$ . Mnożymy $4\cdot 5=20$ . Otrzymujemy $-2\sqrt{5}=-\sqrt{20}$ . Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w $\mathbb{R}$ , więc nie zapisujemy $\sqrt{-20}$ .

Wskazówka

Błąd: $-2\sqrt{5}=\sqrt{-20}$ . Poprawnie: $-2\sqrt{5}=-\sqrt{20}$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Uprość $\sqrt{50}$ .

$5\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$25\sqrt{2}$

$\sqrt{25}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5\sqrt{2}$

$50=25\cdot 2$ , więc $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$ .

PYTANIE 02

Uprość $\sqrt{12}+\sqrt{75}$ .

$7\sqrt{3}$

$5\sqrt{3}$

$\sqrt{87}$

$9\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$7\sqrt{3}$

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , a $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ . Suma to $7\sqrt{3}$ .

PYTANIE 03

Włącz czynnik pod pierwiastek: $4\sqrt{3}$ .

$\sqrt{12}$

$\sqrt{48}$

$\sqrt{64}$

$4\sqrt{9}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\sqrt{48}$

$4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot 3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$ .

PYTANIE 04

Który zapis jest poprawny?

$-3\sqrt{2}=\sqrt{-18}$

$-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$

$3\sqrt{2}=\sqrt{6}$

$3\sqrt{2}=3\sqrt{4}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$

Minus zostaje przed pierwiastkiem, a $3$ wchodzi pod pierwiastek jako $3^2=9$ . Mamy $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek polega na znalezieniu pod pierwiastkiem czynnika będącego kwadratem. Włączanie działa odwrotnie: liczba przed pierwiastkiem wchodzi pod pierwiastek jako swój kwadrat. Te przekształcenia pomagają upraszczać wyrażenia, dodawać pierwiastki podobne i porównywać liczby.

Zapamiętaj

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ , gdy pierwiastki mają sens.

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ , bo $18=9\cdot 2$ .

$3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ , bo $3$ wchodzi jako $3^2$ .

$-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$ , a nie $\sqrt{-18}$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Skąd bierze się wyłączanie czynnika?

Szukaj największego kwadratu

Uproszczenie pomaga dodawać pierwiastki

Włączanie czynnika pod pierwiastek

Włączanie przy większych liczbach

Uważaj na znak przed pierwiastkiem

Teraz Twoja kolej

Uprość 50\sqrt{50}50​.

Uprość 12+75\sqrt{12}+\sqrt{75}12​+75​.

Włącz czynnik pod pierwiastek: 434\sqrt{3}43​.

Który zapis jest poprawny?

Co trzeba zapamiętać?

Uprość $\sqrt{50}$ .

Uprość $\sqrt{12}+\sqrt{75}$ .

Włącz czynnik pod pierwiastek: $4\sqrt{3}$ .