Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Potęgi, pierwiastki i logarytmy · LEKCJA 5 Z 5

Usuwanie niewymierności z mianownika

Mnożenie przez dobraną jedynkę i sprzężenie

◷ 18 minPoziom: podstawowy7 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się usuwać pierwiastek z mianownika ułamka. Najpierw zrobisz to w najprostszym przypadku, potem przy mianowniku z liczbą przed pierwiastkiem, a na końcu przy sumie lub różnicy z pierwiastkiem.

Plan tej lekcji

Najpierw przekształcisz ułamek 12\frac{1}{\sqrt{2}}.

Potem usuniesz niewymierność z mianownika typu 232\sqrt{3}.

Następnie użyjesz wzoru skróconego mnożenia przy mianowniku 5+2\sqrt{5}+2.

Na końcu przećwiczysz wybór poprawnej postaci odpowiedzi.

Na start

Nie zmieniasz wartości ułamka.

Mnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

Celem jest mianownik bez pierwiastka.

Po tej lekcji:
  • Po tej lekcji uczeń umie usuwać pierwiastek z mianownika w prostych ułamkach, mnożąc licznik i mianownik przez odpowiedni czynnik.
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dlaczego można mnożyć licznik i mianownik?

Ułamek nie zmienia wartości, jeśli pomnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Przy usuwaniu niewymierności wybieramy taką liczbę, żeby w mianowniku zniknął pierwiastek.

ab=a⋅cb⋅cdla b≠0, c≠0\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \quad \text{dla } b\neq 0,\ c\neq 0

Przykład

Dlaczego 12\frac{1}{\sqrt{2}} można pomnożyć przez 22\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}?

Rozwiązanie

Liczba 22\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} jest równa 11, bo licznik i mianownik są takie same. Mnożenie przez 11 nie zmienia wartości ułamka. Wybieramy 2\sqrt{2}, bo 2⋅2=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2. Cały trik polega na pomnożeniu przez dobrze dobraną jedynkę.

Zapamiętaj

Mnożenie tylko mianownika zmieniłoby wartość ułamka.

Mnożenie licznika i mianownika przez to samo zachowuje wartość ułamka.

02WYJAŚNIENIE

Najprostszy przykład: 12\frac{1}{\sqrt{2}}

Jeśli w mianowniku stoi sam pierwiastek, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek. Wtedy w mianowniku pojawia się kwadrat pierwiastka.

Pokazać mnożenie licznika i mianownika przez \( \sqrt{2} \), żeby usunąć pierwiastek z mianownika.
Pokazać mnożenie licznika i mianownika przez \( \sqrt{2} \), żeby usunąć pierwiastek z mianownika.

12⋅22=22\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Przykład

Usuń niewymierność z mianownika: 12\frac{1}{\sqrt{2}}.

Rozwiązanie

W mianowniku jest 2\sqrt{2}. Mnożymy licznik i mianownik przez 2\sqrt{2}. Otrzymujemy 1⋅22⋅2\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}. W liczniku mamy 2\sqrt{2}. W mianowniku mamy 22. Wynik to 22\frac{\sqrt{2}}{2}. Pierwiastek nie zniknął całkiem z ułamka, ale zniknął z mianownika.

03WYJAŚNIENIE

Gdy w liczniku stoi liczba

Jeśli licznik jest inny niż 11, metoda jest taka sama. Mnożysz cały licznik i cały mianownik przez pierwiastek z mianownika.

Przykład

Usuń niewymierność z mianownika: 53\frac{5}{\sqrt{3}}.

Rozwiązanie

W mianowniku jest 3\sqrt{3}. Mnożymy licznik i mianownik przez 3\sqrt{3}. Otrzymujemy 533⋅3\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}. Mianownik upraszcza się do 33. Wynik to 533\frac{5\sqrt{3}}{3}. Liczba 55 zostaje w liczniku i mnoży się przez 3\sqrt{3}.

Wskazówka

Błąd: 53=53\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5}{3}. Poprawnie trzeba pomnożyć także licznik, więc wynik to 533\frac{5\sqrt{3}}{3}.

04WYJAŚNIENIE

Gdy mianownik ma postać 232\sqrt{3}

Jeżeli w mianowniku stoi liczba razy pierwiastek, nadal mnożysz przez sam pierwiastek. Liczba przed pierwiastkiem zostaje i mnoży się przez wynik.

123⋅33=36\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}

Przykład

Usuń niewymierność z mianownika: 123\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Rozwiązanie

W mianowniku jest 232\sqrt{3}. Aby usunąć 3\sqrt{3}, mnożymy licznik i mianownik przez 3\sqrt{3}. Otrzymujemy 1⋅323⋅3\frac{1\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}. W liczniku mamy 3\sqrt{3}. W mianowniku mamy 2⋅3=62\cdot 3=6. Wynik to 36\frac{\sqrt{3}}{6}. Mnożymy przez 3\sqrt{3}, bo to pierwiastek jest problemem. Dwójka w mianowniku zostaje jako zwykły czynnik.

Wskazówka

Przykład: Usuń niewymierność z mianownika: 435\frac{4}{3\sqrt{5}}.

W mianowniku jest 353\sqrt{5}. Mnożymy licznik i mianownik przez 5\sqrt{5}. Otrzymujemy 4535⋅5\frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}. Mianownik to 3⋅5=153\cdot 5=15. Wynik to 4515\frac{4\sqrt{5}}{15}. Po przekształceniu mianownik jest wymierny, czyli nie ma w nim pierwiastka.

05WYJAŚNIENIE

Gdy w mianowniku jest suma z pierwiastkiem

Jeśli mianownik wygląda tak: 5+2\sqrt{5}+2, nie wystarczy pomnożyć przez 5\sqrt{5}. Używamy wyrażenia sprzężonego, czyli zmieniamy znak między składnikami.

Pokazać, że wyrażenia \( \sqrt{5}+2 \) i \( \sqrt{5}-2 \) różnią się tylko znakiem i po pomnożeniu usuwają pierwiastek z mianownika.
Pokazać, że wyrażenia \( \sqrt{5}+2 \) i \( \sqrt{5}-2 \) różnią się tylko znakiem i po pomnożeniu usuwają pierwiastek z mianownika.

Po wymnożeniu każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego: 5−25+25−4=15-2\sqrt5+2\sqrt5-4=1. Dwa składniki z pierwiastkiem się znoszą. Stąd wybór nawiasu z przeciwnym znakiem.

(5+2)(5−2)=5−4=1(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1

Do 5+2\sqrt{5}+2 wyrażenie sprzężone to 5−2\sqrt{5}-2.

Do 5−2\sqrt{5}-2 wyrażenie sprzężone to 5+2\sqrt{5}+2.

Korzystamy ze wzoru (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Zapamiętaj

Przy sumie lub różnicy w mianowniku mnożymy przez wyrażenie sprzężone.

Sprzężone oznacza: te same składniki, przeciwny znak między nimi.

06WYJAŚNIENIE

Przykład z wyrażeniem sprzężonym

Gdy mianownik jest dwuskładnikowy, mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone do mianownika. Dzięki temu w mianowniku pojawia się różnica kwadratów.

Przykład

Usuń niewymierność z mianownika: 15+2\frac{1}{\sqrt{5}+2}.

Rozwiązanie

Mianownik to 5+2\sqrt{5}+2. Wyrażenie sprzężone to 5−2\sqrt{5}-2. Mnożymy licznik i mianownik przez 5−2\sqrt{5}-2. Otrzymujemy 1(5−2)(5+2)(5−2)\frac{1(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}. W liczniku mamy 5−2\sqrt{5}-2. W mianowniku stosujemy wzór (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2. Mianownik wynosi (5)2−22=5−4=1(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1. Wynik to 5−2\sqrt{5}-2. Sprzężenie sprawiło, że pierwiastek w mianowniku zniknął po zastosowaniu różnicy kwadratów.

Wskazówka

Nie mnożymy tylko mianownika przez 5−2\sqrt{5}-2. Trzeba pomnożyć i licznik, i mianownik, żeby nie zmienić wartości ułamka.

07WYJAŚNIENIE

Przykład z minusem w mianowniku

Jeśli w mianowniku jest różnica, sprzężenie ma plus. Zmieniamy tylko znak między składnikami, a same składniki zostają takie same.

Przykład

Usuń niewymierność z mianownika: 37−2\frac{3}{\sqrt{7}-2}.

Rozwiązanie

Mianownik to 7−2\sqrt{7}-2. Wyrażenie sprzężone to 7+2\sqrt{7}+2. Mnożymy licznik i mianownik przez 7+2\sqrt{7}+2. Otrzymujemy 3(7+2)(7−2)(7+2)\frac{3(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}. W liczniku mamy 37+63\sqrt{7}+6. W mianowniku mamy (7)2−22=7−4=3(\sqrt{7})^2-2^2=7-4=3. Otrzymujemy 37+63\frac{3\sqrt{7}+6}{3}. Dzielimy każdy składnik licznika przez 33: 7+2\sqrt{7}+2. W tym przykładzie po usunięciu niewymierności ułamek jeszcze się skrócił.

Wskazówka

Po usunięciu niewymierności zawsze sprawdź, czy da się skrócić ułamek. Czasem wynik wygląda na dłuższy tylko przez jeden krok pośredni.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Po usunięciu niewymierności z mianownika 13\frac{1}{\sqrt{3}} otrzymujemy:

A

13\frac{1}{3}

B

33\frac{\sqrt{3}}{3}

C

3\sqrt{3}

D

33\frac{3}{\sqrt{3}}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

33\frac{\sqrt{3}}{3}

Mnożymy licznik i mianownik przez 3\sqrt{3}: 13⋅33=33\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

PYTANIE 02

Po usunięciu niewymierności z mianownika 25\frac{2}{\sqrt{5}} otrzymujemy:

A

255\frac{2\sqrt{5}}{5}

B

25\frac{2}{5}

C

52\frac{\sqrt{5}}{2}

D

252\sqrt{5}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

255\frac{2\sqrt{5}}{5}

Mnożymy licznik i mianownik przez 5\sqrt{5}: 25=255\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.

PYTANIE 03

Po usunięciu niewymierności z mianownika 142\frac{1}{4\sqrt{2}} otrzymujemy:

A

24\frac{\sqrt{2}}{4}

B

28\frac{\sqrt{2}}{8}

C

18\frac{1}{8}

D

422\frac{4\sqrt{2}}{2}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

28\frac{\sqrt{2}}{8}

Mnożymy przez 2\sqrt{2}: 142=24⋅2=28\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{8}.

PYTANIE 04

Wyrażeniem sprzężonym do 6+1\sqrt{6}+1 jest:

A

6+1\sqrt{6}+1

B

6−1\sqrt{6}-1

C

−6+1-\sqrt{6}+1

D

6−16-1

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

6−1\sqrt{6}-1

Wyrażenie sprzężone ma te same składniki i przeciwny znak między nimi, więc do 6+1\sqrt{6}+1 sprzężone jest 6−1\sqrt{6}-1.

PYTANIE 05

Po usunięciu niewymierności z mianownika 13+1\frac{1}{\sqrt{3}+1} otrzymujemy:

A

3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}

B

3+1\sqrt{3}+1

C

12\frac{1}{2}

D

3−1\sqrt{3}-1

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}

Mnożymy przez sprzężone 3−1\sqrt{3}-1. Mianownik to 3−1=23-1=2, więc wynik to 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na takim pomnożeniu licznika i mianownika, żeby w mianowniku nie było pierwiastka. Przy mianowniku typu a\sqrt{a} mnożysz przez a\sqrt{a}. Przy mianowniku typu a+b\sqrt{a}+b albo a−b\sqrt{a}-b mnożysz przez wyrażenie sprzężone.

Zapamiętaj

1a=aa\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}, gdy a>0a>0.

1ka=aka\frac{1}{k\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{ka}, gdy k≠0k\neq 0 i a>0a>0.

Sprzężone do a+b\sqrt{a}+b to a−b\sqrt{a}-b.

Sprzężone do a−b\sqrt{a}-b to a+b\sqrt{a}+b.