Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Funkcja kwadratowa i optymalizacja · LEKCJA 2 Z 8

Postać ogólna funkcji kwadratowej

Współczynniki i pierwsze informacje o wykresie

◷ 15 minPoziom: podstawowy4 kroki
ZANIM ZACZNIESZ

Postać ogólna

W tej lekcji nauczysz się czytać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: odczytasz współczynniki, kierunek ramion, punkt przecięcia z osią pionową oraz dane do delty i wierzchołka.

Na start

najpierw rozpoznasz a,b,ca,b,c

potem połączysz aa z ramionami i cc z osią

na końcu policzysz deltę i wierzchołek

Po tej lekcji:
  • odczytasz współczynniki z postaci ogólnej
  • określisz kierunek ramion i punkt przecięcia z osią
  • obliczysz deltę i wierzchołek
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

W postaci ogólnej każdy współczynnik ma swoje miejsce. Znak przy liczbie należy do współczynnika.

f(x)=−2x2+7x−4f(x)=-2x^2+7x-4

a=−2,b=7,c=−4a=-2,\quad b=7,\quad c=-4

a≠0a\ne0, bo bez składnika kwadratowego funkcja nie byłaby kwadratowa.

Wskazówka

W funkcji f(x)=x2−5x+6f(x)=x^2-5x+6 współczynnik a=1a=1, mimo że jedynka nie jest zapisana.

02WYJAŚNIENIE

Co widać od razu

Znak współczynnika przy kwadracie mówi o kierunku ramion, a wyraz wolny mówi o przecięciu z osią pionową.

Porównanie kierunku ramion paraboli dla dodatniego i ujemnego współczynnika a.
Porównanie kierunku ramion paraboli dla dodatniego i ujemnego współczynnika a.

a>0a>0 - ramiona w górę; a<0a<0 - ramiona w dół.

f(0)=cf(0)=c, więc wykres przecina oś pionową w punkcie (0,c)(0,c).

03WYJAŚNIENIE

Delta i wierzchołek z postaci ogólnej

Z tych samych współczynników obliczamy deltę, miejsca zerowe i pierwszą współrzędną wierzchołka. Wzory z pierwiastkiem stosujemy dla Δ≥0\Delta\ge0. Dla Δ=0\Delta=0 dają to samo miejsce zerowe; dla Δ<0\Delta<0 miejsc zerowych rzeczywistych nie ma. Wierzchołek można obliczyć w każdym przypadku.

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

p=−b2a,q=f(p),W=(p,q)p=\frac{-b}{2a},\quad q=f(p),\quad W=(p,q)

04WYJAŚNIENIE

f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3

Na jednym wzorze widać cały zestaw informacji z postaci ogólnej.

a=1,b=−4,c=3a=1,\quad b=-4,\quad c=3

Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=4\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4

x1=1,x2=3x_1=1,\quad x_2=3

p=−(−4)2⋅1=2,q=f(2)=−1p=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=2,\quad q=f(2)=-1

W=(2,−1)W=(2,-1)

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Współczynniki

Dla funkcji f(x)=−x2+3x−2f(x)=-x^2+3x-2 współczynniki wynoszą:

A

a=1, b=3, c=−2a=1,\ b=3,\ c=-2

B

a=−1, b=3, c=−2a=-1,\ b=3,\ c=-2

C

a=−1, b=−3, c=2a=-1,\ b=-3,\ c=2

D

a=3, b=−1, c=−2a=3,\ b=-1,\ c=-2

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

a=−1, b=3, c=−2a=-1,\ b=3,\ c=-2

Przy x2x^2 stoi −1-1, przy xx stoi 33, a wyraz wolny to −2-2.

PYTANIE 02

Punkt na osi pionowej

Funkcja f(x)=x2+4x−7f(x)=x^2+4x-7 przecina oś pionową w punkcie:

A

(0,4)(0,4)

B

(0,−7)(0,-7)

C

(−7,0)(-7,0)

D

(4,0)(4,0)

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

(0,−7)(0,-7)

Wyraz wolny to c=−7c=-7, więc punkt przecięcia to (0,−7)(0,-7).

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Postać ogólna daje współczynniki potrzebne do odczytania ramion, punktu na osi pionowej, delty i wierzchołka.

Zapamiętaj

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

(0,c)(0,c) to punkt przecięcia z osią pionową.

p=−b2ap=\frac{-b}{2a} to pierwsza współrzędna wierzchołka.