Postać iloczynowa i miejsca zerowe

ZANIM ZACZNIESZ

Postać iloczynowa

W tej lekcji nauczysz się odczytywać miejsca zerowe z nawiasów, rozpoznawać dotknięcie osi oraz dopasowywać współczynnik, gdy znasz dodatkowy punkt wykresu.

Na start

najpierw odczytasz $x_1$ i $x_2$

potem zobaczysz miejsce zerowe podwójne

na końcu wyznaczysz $a$ z punktu

Po tej lekcji:

odczytasz miejsca zerowe z postaci iloczynowej
rozpoznasz miejsce zerowe podwójne
wyznaczysz współczynnik z dodatkowego punktu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Postać iloczynowa pokazuje miejsca zerowe, bo iloczyn jest równy zero, gdy jeden z nawiasów jest równy zero.

Parabola przecinająca oś poziomą w miejscach zerowych x jeden i x dwa.

$f(x)=2(x+1)(x-3)$

$x+1=0\Rightarrow x=-1$

$x-3=0\Rightarrow x=3$

02WYJAŚNIENIE

Miejsce zerowe podwójne

Jeśli w postaci iloczynowej pojawia się kwadrat jednego nawiasu, parabola dotyka osi w jednym miejscu.

Parabola dotykająca osi w jednym miejscu zerowym podwójnym.

Postać z rzeczywistymi miejscami zerowymi istnieje tylko dla $\Delta\ge0$ . Przy $\Delta=0$ zapisujemy $f(x)=a(x-x_0)^2$ . Dla $\Delta<0$ , np. $f(x)=x^2+1$ , takiej postaci nie ma.

Zapamiętaj

$f(x)=a(x-x_0)^2\quad \Rightarrow\quad x_0$ jest miejscem zerowym podwójnym.

03WYJAŚNIENIE

Gdy znamy miejsca zerowe

Miejsca zerowe dają nawiasy, ale do pełnego wzoru potrzebny jest jeszcze współczynnik.

Miejsca zerowe $-1$ i $3$ dają wzór $f(x)=a(x+1)(x-3)$ .

Jeśli punkt $(0,-6)$ leży na wykresie, podstawiamy go: $-6=a\cdot1\cdot(-3)$ .

$a=2$ , więc $f(x)=2(x+1)(x-3)$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Miejsca zerowe

Miejsca zerowe funkcji $f(x)=-2(x-4)(x+1)$ to:

$4\ \text{i}\ -1$

$-4\ \text{i}\ 1$

$-2\ \text{i}\ 4$

brak miejsc zerowych

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$4\ \text{i}\ -1$

$x-4=0$ daje $x=4$ , a $x+1=0$ daje $x=-1$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Postać iloczynowa jest najlepsza, gdy w zadaniu chodzi o miejsca zerowe.

Zapamiętaj

$a(x-x_1)(x-x_2)$ pokazuje miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ .

$a(x-x_0)^2$ oznacza jedno miejsce zerowe podwójne.