Stożek – pole powierzchni i objętość - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W stożku pojawia się tworząca $l$ . Odróżnisz ją od wysokości $h$ , zobaczysz trójkąt prostokątny z bokami $r,h,l$ , a potem użyjesz go do pól, objętości i przekroju osiowego.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz promień, wysokość i tworzącą.

Potem połączysz te długości twierdzeniem Pitagorasa.

Następnie policzysz pole boczne, całkowite i objętość.

Na końcu wykorzystasz przekrój osiowy stożka.

Na start

Wysokość biegnie od wierzchołka do środka podstawy.

Tworząca biegnie od wierzchołka do brzegu podstawy.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać promień, wysokość i tworzącą stożka oraz obliczać jego pole boczne, pole całkowite i objętość.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wysokość i tworząca to różne długości

Stożek prosty ma podstawę w kształcie koła i jeden wierzchołek. Wysokość prowadzi prostopadle do środka podstawy, a tworząca do punktu na okręgu podstawy.

Trójkąt prostokątny z bokami r, h, l ukryty w stożku.

Wskazówka

Tworząca $l$ nie jest wysokością. W stożku prostym zawsze $l>h$ .

02WYJAŚNIENIE

Promień, wysokość i tworząca

Połowa przekroju osiowego stożka tworzy trójkąt prostokątny. Przyprostokątne mają długości $r$ i $h$ , a przeciwprostokątną jest $l$ .

$l^2=r^2+h^2$

Dla $r=6\text{ cm}$ i $h=8\text{ cm}$ : $l^2=6^2+8^2=100$ , więc $l=10\text{ cm}$ .

Zapamiętaj

Jeśli masz $r$ i $h$ , a brakuje $l$ , użyj Pitagorasa.

03WYJAŚNIENIE

Bok stożka jest wycinkiem koła

Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu nie jest prostokątem. Rozwija się do wycinka koła o promieniu równym tworzącej.

Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jako wycinka koła.

Zapamiętaj

Promieniem wycinka jest tworząca $l$ .

Łuk wycinka ma długość obwodu podstawy $2\pi r$ .

04WYJAŚNIENIE

Pole powierzchni bocznej stożka

Pole powierzchni bocznej stożka zależy od promienia podstawy i tworzącej. Skąd ten wzór? Rozwinięty bok jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i łuku długości $2\pi r$ . Zajmuje więc część $\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac rl$ całego koła o polu $\pi l^2$ . Stąd $P_b=\frac rl\cdot\pi l^2=\pi rl$ .

$P_b=\pi rl$

Dla $r=5\text{ cm}$ i $l=9\text{ cm}$ : $P_b=\pi\cdot5\cdot9=45\pi\text{ cm}^2$ .

Wskazówka

We wzorze na pole boczne występuje tworząca $l$ , nie wysokość $h$ .

05WYJAŚNIENIE

Pole całkowite stożka

Pole całkowite stożka składa się z powierzchni bocznej i jednej podstawy. Podstawa jest kołem.

$P_c=P_b+P_p$

$P_c=\pi rl+\pi r^2$

$P_c=\pi r(l+r)$

Dla $r=3\text{ cm}$ i $l=5\text{ cm}$ : $P_c=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$ .

Wskazówka

Stożek ma jedną podstawę. Nie dodawaj $2\pi r^2$ jak w walcu.

06WYJAŚNIENIE

Objętość stożka

Stożek o tej samej podstawie i wysokości co walec ma jedną trzecią jego objętości.

Stożek i walec o tej samej podstawie i wysokości z relacją objętości.

$V=\frac{1}{3}P_p h$

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot h$

Dla $r=6\text{ cm}$ i $h=9\text{ cm}$ : $V=\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot9=108\pi\text{ cm}^3$ .

Zapamiętaj

W objętości stożka zawsze pojawia się czynnik $\frac{1}{3}$ .

07WYJAŚNIENIE

Najpierw tworząca, potem pole

W wielu zadaniach o polu stożka dane są $r$ i $h$ . Przykład: oblicz pole całkowite stożka o promieniu $5\text{ cm}$ i wysokości $12\text{ cm}$ . Do pola bocznego potrzebujesz tworzącej, więc najpierw liczysz ją z Pitagorasa.

Dla $r=5\text{ cm}$ i $h=12\text{ cm}$ : $l^2=5^2+12^2=169$ , więc $l=13\text{ cm}$ .

$P_c=\pi\cdot5\cdot13+\pi\cdot5^2=90\pi\text{ cm}^2$

Wskazówka

Gdy w zadaniu o polu stożka widzisz $r$ i $h$ , ale nie $l$ , od razu szukaj trójkąta prostokątnego.

08WYJAŚNIENIE

Przekrój osiowy stożka

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Podstawa przekroju ma długość $2r$ , ramiona mają długość $l$ , a wysokość trójkąta jest wysokością stożka.

Stożek i jego przekrój osiowy jako trójkąt równoramienny.

$l^2=r^2+h^2$

$P_b=\pi rl$

$P_c=\pi rl+\pi r^2$

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot h$

Przekrój osiowy ma podstawę $2r$ i ramiona $l$ .