Walec – pole powierzchni i objętość - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozkładać walec na proste elementy: dwie podstawy w kształcie kół i powierzchnię boczną, która po rozwinięciu jest prostokątem. Dzięki temu wzory na pole i objętość wynikają z geometrii figury, a nie są osobnymi regułami do pamiętania.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz promień $r$ , wysokość $h$ i podstawy walca.

Potem rozwiniesz powierzchnię boczną do prostokąta.

Następnie policzysz pole boczne, pole całkowite i objętość.

Na końcu przećwiczysz zadania ze średnicą, brakującą wysokością i przekrojem osiowym.

Na start

Podstawa walca jest kołem o polu $\pi r^2$ .

Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać elementy walca oraz obliczać jego pole boczne, pole całkowite i objętość.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Jakie wielkości opisują walec?

Walec prosty ma dwie jednakowe, równoległe podstawy w kształcie koła. Odległość między podstawami to wysokość $h$ , a promień każdej podstawy oznaczamy przez $r$ .

Walec z zaznaczonym promieniem podstawy i wysokością.

$d=2r$

Każda podstawa ma pole $\pi r^2$ .

Wysokość $h$ jest prostopadła do podstaw.

Wskazówka

Jeśli zadanie podaje średnicę $d$ , najpierw policz $r=\frac{d}{2}$ .

02WYJAŚNIENIE

Dlaczego bok walca jest prostokątem?

Po pionowym rozcięciu i rozwinięciu powierzchnia boczna walca staje się prostokątem. Jego jeden bok ma długość wysokości walca, a drugi bok jest obwodem podstawy.

Rozwinięcie powierzchni bocznej walca do prostokąta.

$a=2\pi r$

$b=h$

Zapamiętaj

Jeden bok rozwinięcia to obwód koła $2\pi r$ .

Drugi bok to wysokość walca $h$ .

03WYJAŚNIENIE

Pole powierzchni bocznej walca

Skoro powierzchnia boczna rozwija się do prostokąta o bokach $2\pi r$ i $h$ , jej pole jest iloczynem tych długości.

$P_b=2\pi rh$

Dla $r=4\text{ cm}$ i $h=7\text{ cm}$ mamy $P_b=2\pi\cdot4\cdot7=56\pi\text{ cm}^2$ .

Wskazówka

Pole boczne nie obejmuje podstaw. Przy polu całkowitym trzeba je dodać.

04WYJAŚNIENIE

Pole całkowite: bok i dwie podstawy

Cała powierzchnia walca składa się z powierzchni bocznej i dwóch jednakowych podstaw. Każda podstawa jest kołem.

Siatka walca z prostokątem powierzchni bocznej i dwiema podstawami.

$P_c=P_b+2P_p$

$P_c=2\pi rh+2\pi r^2$

$P_c=2\pi r(h+r)$

Dla $r=3\text{ cm}$ i $h=5\text{ cm}$ : $P_c=30\pi+18\pi=48\pi\text{ cm}^2$ .

Zapamiętaj

Pole całkowite: bok + dół + góra.

05WYJAŚNIENIE

Objętość walca

Walec ma na każdej wysokości taki sam przekrój równoległy do podstawy. Dlatego jego objętość to pole podstawy razy wysokość.

Walec jako stos jednakowych przekrojów kołowych.

$V=P_p\cdot h$

$V=\pi r^{2}\cdot h$

Dla $r=4\text{ cm}$ i $h=10\text{ cm}$ : $V=\pi\cdot4^2\cdot10=160\pi\text{ cm}^3$ .

Wskazówka

Pole ma jednostkę $\text{cm}^2$ , a objętość $\text{cm}^3$ .

06WYJAŚNIENIE

Gdy podana jest średnica

Wzory na walec używają promienia. Jeśli w treści występuje średnica, pierwszym krokiem jest podzielenie jej przez dwa.

$r=\frac{d}{2}$

Walec ma średnicę $12\text{ cm}$ i wysokość $8\text{ cm}$ . Oblicz jego objętość. Najpierw promień wynosi $6\text{ cm}$ .

objętość wynosi $V=\pi\cdot6^2\cdot8=288\pi\text{ cm}^3$ .

07WYJAŚNIENIE

Z objętości można znaleźć wysokość

Czasem objętość jest podana, a niewiadomą jest wysokość. Wtedy ten sam wzór traktujemy jak równanie.

$V=\pi r^{2}\cdot h$

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

Jeśli $V=100\pi\text{ cm}^3$ i $r=5\text{ cm}$ , to $100\pi=25\pi h$ , więc $h=4\text{ cm}$ .

Wskazówka

Jeśli po obu stronach równania występuje $\pi$ , możesz je skrócić.

08WYJAŚNIENIE

Przekrój osiowy walca

Przekrój płaszczyzną przechodzącą przez oś walca jest prostokątem. Jeden bok ma długość wysokości, a drugi jest średnicą podstawy.

Walec i jego przekrój osiowy jako prostokąt.

Zapamiętaj

$P_b=2\pi rh$

$P_c=2\pi rh+2\pi r^2$

$V=\pi r^{2}\cdot h$

Przekrój osiowy walca ma boki $2r$ i $h$ .