Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Stereometria · LEKCJA 3 Z 4

Kula – pole powierzchni i objętość

Bryły obrotowe

◷ 18 minPoziom: podstawowy8 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Kula ma mniej elementów niż walec i stożek: najważniejszy jest promień. Nauczysz się odróżniać powierzchnię kuli od objętości, stosować dwa podstawowe wzory i przewidywać skutki zmiany promienia.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz kulę od sfery.

Potem policzysz pole powierzchni i objętość.

Następnie przećwiczysz zadania ze średnicą.

Na końcu porównasz kule o różnych promieniach.

Na start

Pole powierzchni zależy od r2r^2.

Objętość zależy od r3r^3.

Po tej lekcji:
  • Po tej lekcji uczeń umie obliczać pole powierzchni i objętość kuli oraz rozwiązywać zadania ze średnicą i skalowaniem promienia.
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kula i sfera

Sfera to sama powierzchnia bryły, podobnie jak okrąg jest brzegiem koła. Kula obejmuje powierzchnię i całe wnętrze.

Porównanie sfery jako powierzchni i kuli jako bryły z wnętrzem.
Porównanie sfery jako powierzchni i kuli jako bryły z wnętrzem.
Zapamiętaj

Sfera ma pole powierzchni.

Kula ma objętość.

02WYJAŚNIENIE

Promień i średnica kuli

Promień kuli to odcinek od środka do dowolnego punktu na powierzchni. Średnica przechodzi przez środek i składa się z dwóch promieni.

Przekrój kuli z promieniem i średnicą.
Przekrój kuli z promieniem i średnicą.

d=2rd=2r

r=d2r=\frac{d}{2}

Wskazówka

Jeśli w zadaniu podana jest średnica, najpierw podziel ją przez 22.

03WYJAŚNIENIE

Pole powierzchni kuli

Pole powierzchni kuli zależy od kwadratu promienia. Wzór zawiera współczynnik 44, więc powierzchnia kuli ma pole równe czterem polom koła o tym samym promieniu.

Kula porównana z czterema kołami o tym samym promieniu.
Kula porównana z czterema kołami o tym samym promieniu.

P=4πr2P=4\pi r^2

Dla r=5 cmr=5\text{ cm}: P=4π⋅52=100π cm2P=4\pi\cdot5^2=100\pi\text{ cm}^2.

Zapamiętaj

Pole powierzchni ma jednostkę kwadratową, na przykład cm2\text{cm}^2.

04WYJAŚNIENIE

Objętość kuli

Objętość kuli zależy od sześcianu promienia. Dlatego nawet niewielkie zwiększenie promienia mocno zwiększa objętość.

V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3

Dla r=3 cmr=3\text{ cm}: V=43π⋅33=36π cm3V=\frac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi\text{ cm}^3.

Wskazówka

We wzorze na objętość występuje r3r^3, a nie r2r^2.

05WYJAŚNIENIE

Gdy znamy średnicę

W zadaniach częściej podaje się średnicę piłki lub kuli niż promień. W obu wzorach potrzebujemy jednak promienia.

Kula ma średnicę 10 cm10\text{ cm}. Oblicz jej pole powierzchni. Promień wynosi r=102=5 cmr=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.

Pole powierzchni wynosi wtedy P=4π⋅52=100π cm2P=4\pi\cdot5^2=100\pi\text{ cm}^2.

06WYJAŚNIENIE

Podwojenie promienia a pole

Pole kuli zależy od r2r^2. Jeśli promień zwiększymy dwa razy, jego kwadrat zwiększy się cztery razy.

Dwie kule pokazujące, że podwojenie promienia daje czterokrotne pole.
Dwie kule pokazujące, że podwojenie promienia daje czterokrotne pole.

P=4πr2P=4\pi r^2

P(2r)=4P(r)P(2r)=4P(r)

Dwukrotnie większy promień daje czterokrotnie większą powierzchnię.

07WYJAŚNIENIE

Podwojenie promienia a objętość

Objętość zależy od r3r^3. Dlatego podwojenie promienia zwiększa objętość osiem razy.

Dwie kule pokazujące, że podwojenie promienia daje ośmiokrotną objętość.
Dwie kule pokazujące, że podwojenie promienia daje ośmiokrotną objętość.

V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3

V(2r)=8V(r)V(2r)=8V(r)

Trzykrotnie większy promień dałby 33=273^3=27 razy większą objętość.

Zapamiętaj

Dla pola patrz na kwadrat skali.

Dla objętości patrz na sześcian skali.

08WYJAŚNIENIE

Z pola można znaleźć promień

Wzory działają także w drugą stronę. Jeśli znamy pole powierzchni kuli, możemy ułożyć równanie i wyznaczyć promień.

Jeśli P=196π cm2P=196\pi\text{ cm}^2, to 196π=4πr2196\pi=4\pi r^2.

Po podzieleniu przez 4π4\pi dostajemy r2=49r^2=49, więc r=7 cmr=7\text{ cm}.

Wskazówka

Długość promienia nie może być ujemna, więc wybieramy dodatnie rozwiązanie.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Kula ma promień 4 cm4\text{ cm}. Jakie jest jej pole powierzchni?

A

16π cm216\pi\text{ cm}^2

B

32π cm232\pi\text{ cm}^2

C

64π cm264\pi\text{ cm}^2

D

256π cm2256\pi\text{ cm}^2

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

64π cm264\pi\text{ cm}^2

P=4πr2=4π⋅42=64π cm2P=4\pi r^2=4\pi\cdot4^2=64\pi\text{ cm}^2.

PYTANIE 02

Zadania utrwalające

Kula ma promień 3 cm3\text{ cm}. Jej objętość wynosi:

A

12π cm312\pi\text{ cm}^3

B

27π cm327\pi\text{ cm}^3

C

36π cm336\pi\text{ cm}^3

D

108π cm3108\pi\text{ cm}^3

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

36π cm336\pi\text{ cm}^3

V=43π⋅33=36π cm3V=\frac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi\text{ cm}^3.

PYTANIE 03

Zadania utrwalające

Średnica kuli wynosi 14 cm14\text{ cm}. Jaki jest jej promień?

A

3,5 cm3{,}5\text{ cm}

B

7 cm7\text{ cm}

C

14 cm14\text{ cm}

D

28 cm28\text{ cm}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

7 cm7\text{ cm}

Promień jest połową średnicy, więc r=7 cmr=7\text{ cm}.

PYTANIE 04

Zadania utrwalające

Promień kuli zwiększono dwa razy. Ile razy zwiększyło się pole powierzchni?

A

22

B

44

C

66

D

88

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

44

Pole zależy od r2r^2, więc 22=42^2=4.

PYTANIE 05

Zadania utrwalające

Promień kuli zwiększono dwa razy. Ile razy zwiększyła się objętość?

A

22

B

44

C

66

D

88

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: D

88

Objętość zależy od r3r^3, więc 23=82^3=8.

NA KONIEC

Najważniejsze metody z kuli

W zadaniach z kulą najpierw upewnij się, czy liczysz powierzchnię, czy objętość, oraz czy dana jest średnica, czy promień.

Zapamiętaj

d=2rd=2r

P=4πr2P=4\pi r^2

V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3

Przy zmianie promienia kk razy pole zmienia się k2k^2 razy, a objętość k3k^3 razy.