Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Stereometria · LEKCJA 4 Z 4

Kąty w walcu i stożku

Bryły obrotowe

◷ 22 minPoziom: podstawowy9 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Kąty w bryłach są trudne głównie dlatego, że rysunek jest przestrzenny. Nauczysz się zamieniać problem na płaski trójkąt prostokątny: w walcu z przekroju osiowego, a w stożku z połowy przekroju osiowego.

Plan tej lekcji

Najpierw wybierzesz przekrój zawierający szukany kąt.

Potem rozwiążesz zadania z przekątną przekroju walca.

Następnie przejdziesz do tworzącej stożka.

Na końcu użyjesz sinusa, cosinusa i tangensa.

Na start

Nie licz kąta bezpośrednio z perspektywicznego rysunku bryły.

Najpierw znajdź płaski trójkąt, w którym ten kąt naprawdę leży.

Po tej lekcji:
  • Po tej lekcji uczeń umie sprowadzać zadania o kątach w walcu i stożku do trójkątów prostokątnych w odpowiednich przekrojach.
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Przekrój osiowy zamienia walec w prostokąt

Płaszczyzna przechodząca przez oś walca przecina podstawy wzdłuż średnic. Dlatego przekrój osiowy jest prostokątem o szerokości 2r2r i wysokości hh.

Walec i prostokątny przekrój osiowy z przekątną.
Walec i prostokątny przekrój osiowy z przekątną.

szerokosˊcˊ=2r\text{szerokość}=2r

wysokosˊcˊ=h\text{wysokość}=h

Zapamiętaj

Przekątna przekroju osiowego walca jest przekątną prostokąta.

02WYJAŚNIENIE

Przekątna przekroju walca

Przekątna prostokątnego przekroju wraz z wysokością walca i średnicą podstawy tworzy trójkąt prostokątny.

d2=h2+(2r)2d^2=h^2+(2r)^2

Dla r=3 cmr=3\text{ cm} i h=8 cmh=8\text{ cm} średnica ma 6 cm6\text{ cm}, więc d2=62+82=100d^2=6^2+8^2=100 i d=10 cmd=10\text{ cm}.

Wskazówka

Poziomym bokiem przekroju jest średnica 2r2r, nie promień.

03WYJAŚNIENIE

Kąt przekątnej walca z podstawą

Kąt między przekątną przekroju osiowego a podstawą widzimy w przekroju między przekątną i jej poziomym rzutem. Tym rzutem jest średnica.

Kąt alfa między przekątną przekroju walca a podstawą.
Kąt alfa między przekątną przekroju walca a podstawą.

tan⁡α=h2r\tan\alpha=\frac{h}{2r}

sin⁡α=hd\sin\alpha=\frac{h}{d}

cos⁡α=2rd\cos\alpha=\frac{2r}{d}

Dla r=3 cmr=3\text{ cm} i h=63 cmh=6\sqrt{3}\text{ cm}: tan⁡α=636=3\tan\alpha=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}, więc α=60∘\alpha=60^\circ.

Wskazówka

Dla kąta przy podstawie walca tangens zwykle jest najkrótszą drogą.

04WYJAŚNIENIE

Z kąta w walcu można znaleźć wysokość

Jeżeli znasz promień i kąt przekątnej z podstawą, tangens pozwala od razu wyznaczyć wysokość.

tan⁡α=h2r\tan\alpha=\frac{h}{2r}

h=2rtan⁡αh=2r\tan\alpha

Jeśli r=5 cmr=5\text{ cm} i α=45∘\alpha=45^\circ, to h=2⋅5⋅1=10 cmh=2\cdot5\cdot1=10\text{ cm}.

Zapamiętaj

Dla kąta 45∘45^\circ odpowiednie przyprostokątne są równe.

05WYJAŚNIENIE

Przekrój osiowy stożka daje dwa trójkąty

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne z bokami r,h,lr,h,l.

Przekrój osiowy stożka i jego prawa połowa jako trójkąt prostokątny.
Przekrój osiowy stożka i jego prawa połowa jako trójkąt prostokątny.

l2=r2+h2l^2=r^2+h^2

Zapamiętaj

Do trygonometrii w stożku najczęściej używamy połowy przekroju osiowego.

06WYJAŚNIENIE

Kąt tworzącej stożka z podstawą

Kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy to kąt między tworzącą i jej rzutem na podstawę. Tym rzutem jest promień.

Trójkąt prostokątny z kątem alfa między promieniem i tworzącą stożka.
Trójkąt prostokątny z kątem alfa między promieniem i tworzącą stożka.

tan⁡α=hr\tan\alpha=\frac{h}{r}

sin⁡α=hl\sin\alpha=\frac{h}{l}

cos⁡α=rl\cos\alpha=\frac{r}{l}

Dla r=4 cmr=4\text{ cm} i h=43 cmh=4\sqrt{3}\text{ cm}: tan⁡α=3\tan\alpha=\sqrt{3}, więc α=60∘\alpha=60^\circ.

Wskazówka

W stożku w mianowniku tangensa jest rr, a nie 2r2r.

07WYJAŚNIENIE

Gdy znamy tworzącą i kąt

Jeżeli znasz tworzącą oraz kąt z podstawą, sinus daje wysokość, a cosinus daje promień.

sin⁡α=hl\sin\alpha=\frac{h}{l}

h=lsin⁡αh=l\sin\alpha

cos⁡α=rl\cos\alpha=\frac{r}{l}

r=lcos⁡αr=l\cos\alpha

Dla l=12 cml=12\text{ cm} i α=30∘\alpha=30^\circ: 12=h12\frac{1}{2}=\frac{h}{12}, więc h=6 cmh=6\text{ cm}.

Wskazówka

Gdy znasz przeciwprostokątną i szukasz przyprostokątnej, sinus lub cosinus często skraca rachunek.

08WYJAŚNIENIE

Kąt przy wierzchołku przekroju stożka

Czasem zadanie pyta nie o kąt tworzącej z podstawą, lecz o cały kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Wysokość stożka dzieli ten kąt na dwie równe części.

Trójkąt równoramienny z kątami alfa przy podstawie i beta przy wierzchołku.
Trójkąt równoramienny z kątami alfa przy podstawie i beta przy wierzchołku.

β=2(90∘−α)\beta=2(90^\circ-\alpha)

W przekroju osiowym stożka kąty przy podstawie mają po 65∘65^\circ. Oblicz kąt przy wierzchołku przekroju. Wtedy β=180∘−65∘−65∘=50∘\beta=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ.

Wskazówka

Kąt tworzącej z podstawą nie jest kątem przy wierzchołku stożka.

09WYJAŚNIENIE

Jak wybrać funkcję trygonometryczną?

Po narysowaniu właściwego trójkąta wybór funkcji zależy tylko od tego, jakie boki znasz i jakiego szukasz. W walcu pozioma przyprostokątna ma 2r2r, a w stożku rr.

Tangens: gdy pracujesz na dwóch przyprostokątnych.

Sinus: gdy łączysz bok naprzeciw kąta z przeciwprostokątną.

Cosinus: gdy łączysz bok przy kącie z przeciwprostokątną.

tan⁡α=naprzeciwprzy\tan\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy}}

sin⁡α=naprzeciwprzeciwprostokątna\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}

cos⁡α=przyprzeciwprostokątna\cos\alpha=\frac{\text{przy}}{\text{przeciwprostokątna}}

Zapamiętaj

Najpierw zaznacz kąt na trójkącie, dopiero potem nazywaj boki.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Walec ma promień 4 cm4\text{ cm} i wysokość 6 cm6\text{ cm}. Jakie wymiary ma jego przekrój osiowy?

A

4 cm4\text{ cm} i 6 cm6\text{ cm}

B

8 cm8\text{ cm} i 6 cm6\text{ cm}

C

8 cm8\text{ cm} i 12 cm12\text{ cm}

D

4 cm4\text{ cm} i 12 cm12\text{ cm}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

8 cm8\text{ cm} i 6 cm6\text{ cm}

Przekrój osiowy walca ma wymiary 2r2r i hh, czyli 8 cm8\text{ cm} i 6 cm6\text{ cm}.

PYTANIE 02

Zadania utrwalające

Walec ma promień 3 cm3\text{ cm} i wysokość 8 cm8\text{ cm}. Długość przekątnej przekroju osiowego wynosi:

A

8 cm8\text{ cm}

B

9 cm9\text{ cm}

C

10 cm10\text{ cm}

D

14 cm14\text{ cm}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

10 cm10\text{ cm}

Średnica ma 66, więc d=62+82=10 cmd=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}.

PYTANIE 03

Zadania utrwalające

W walcu przekątna przekroju osiowego tworzy z podstawą kąt 45∘45^\circ. Promień ma 4 cm4\text{ cm}. Jaka jest wysokość?

A

4 cm4\text{ cm}

B

8 cm8\text{ cm}

C

12 cm12\text{ cm}

D

16 cm16\text{ cm}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

8 cm8\text{ cm}

tan⁡45∘=h2r=1\tan45^\circ=\frac{h}{2r}=1, więc h=2r=8 cmh=2r=8\text{ cm}.

PYTANIE 04

Zadania utrwalające

Stożek ma promień 5 cm5\text{ cm} i wysokość 53 cm5\sqrt{3}\text{ cm}. Jaki kąt tworzy tworząca z podstawą?

A

30∘30^\circ

B

45∘45^\circ

C

60∘60^\circ

D

90∘90^\circ

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

60∘60^\circ

tan⁡α=535=3\tan\alpha=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}, więc α=60∘\alpha=60^\circ.

PYTANIE 05

Zadania utrwalające

Tworząca stożka ma 10 cm10\text{ cm} i tworzy z podstawą kąt 30∘30^\circ. Jaka jest wysokość stożka?

A

5 cm5\text{ cm}

B

53 cm5\sqrt{3}\text{ cm}

C

103 cm10\sqrt{3}\text{ cm}

D

20 cm20\text{ cm}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

5 cm5\text{ cm}

sin⁡30∘=h10=12\sin30^\circ=\frac{h}{10}=\frac{1}{2}, więc h=5 cmh=5\text{ cm}.

NA KONIEC

Najważniejsze metody z kątów

Zadanie przestrzenne najpierw sprowadź do odpowiedniego przekroju płaskiego. Dopiero w trójkącie prostokątnym wybieraj Pitagorasa albo funkcję trygonometryczną.

Zapamiętaj

Walec: przekrój osiowy ma boki 2r2r i hh, więc d2=(2r)2+h2d^2=(2r)^2+h^2.

Dla kąta przekątnej walca z podstawą: tan⁡α=h2r\tan\alpha=\frac{h}{2r}.

Stożek: połowa przekroju ma boki r,h,lr,h,l.

Dla kąta tworzącej z podstawą: tan⁡α=hr\tan\alpha=\frac{h}{r}, sin⁡α=hl\sin\alpha=\frac{h}{l}, cos⁡α=rl\cos\alpha=\frac{r}{l}.