Operacje na zbiorach

ZANIM ZACZNIESZ

W tej lekcji nauczysz się wyznaczać sumę, część wspólną i różnicę zbiorów. Zaczniemy od małych zbiorów z elementami, a potem przejdziemy do przedziałów.

Na start

$A\cup B$ - połączymy elementy z obu zbiorów

$A\cap B$ - zostawimy tylko elementy wspólne

$A\setminus B$ - usuniemy drugi zbiór z pierwszego

Po tej lekcji:

wyznaczysz sumę dwóch zbiorów
wyznaczysz część wspólną
odróżnisz różnicę zbiorów od sumy i części wspólnej

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Trzy działania

Nie liczymy elementów mechanicznie. Najpierw czytamy symbol jak polecenie.

$A\cup B$ oznacza: weź elementy należące do $A$ lub do $B$ .

$A\cap B$ oznacza: zostaw elementy należące jednocześnie do $A$ i do $B$ .

$A\setminus B$ oznacza: zacznij od $A$ i usuń elementy należące do $B$ .

02WYJAŚNIENIE

Część wspólna na diagramie

Na diagramie część wspólna to obszar, który należy do obu kół naraz.

Diagram Venna z zaznaczoną częścią wspólną zbiorów A i B.

03WYJAŚNIENIE

Przykład na małych zbiorach

Weźmy dwa zbiory z kilkoma elementami i wykonajmy wszystkie trzy działania.

$A=\{1,2,3\},\quad B=\{3,4\}$

$A\cup B=\{1,2,3,4\}$ , bo suma bierze wszystko bez powtórek.

$A\cap B=\{3\}$ , bo tylko $3$ występuje w obu zbiorach.

$A\setminus B=\{1,2\}$ , bo z $A$ usuwamy element wspólny z $B$ .

Wskazówka

Różnica zbiorów zależy od kolejności: zwykle $A\setminus B\ne B\setminus A$ .

04WYJAŚNIENIE

Działania na przedziałach

Przedziały też są zbiorami, więc można je łączyć, przecinać i odejmować.

$[1,4]\cap(3,6)=(3,4]$ , bo wspólne są liczby większe od $3$ i nie większe niż $4$ .

$[1,4]\cup(3,6)=[1,6)$ , bo przedziały zachodzą na siebie i tworzą jeden dłuższy przedział.

$[1,4]\setminus(3,6)=[1,3]$ , bo usuwamy liczby większe od $3$ .

05WYJAŚNIENIE

Gdy nie ma części wspólnej

Jeżeli zbiory nie mają żadnego wspólnego elementu, ich częścią wspólną jest zbiór pusty.

Pułapka

$[1,2]\cap(2,5)=\varnothing$

Wskazówka

Liczba $2$ należy do pierwszego przedziału, ale nie należy do drugiego. Dlatego nie łączy tych przedziałów.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Część wspólna zbiorów

Dla zbiorów $A=\{1,2,3\}$ oraz $B=\{3,4\}$ wyznacz $A\cap B$ .

$\{1,2,3,4\}$

$\{3\}$

$\{1,2\}$

$\{4\}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\{3\}$

W obu zbiorach występuje tylko $3$ , więc częścią wspólną jest $\{3\}$ .

PYTANIE 02

Różnica zbiorów

Dla zbiorów $A=\{1,2,3\}$ oraz $B=\{3,4\}$ wyznacz $A\setminus B$ .

$\{3\}$

$\{4\}$

$\{1,2\}$

$\{1,2,3,4\}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\{1,2\}$

Zaczynamy od $A$ i usuwamy elementy należące do $B$ . Zostają $1$ i $2$ .

PYTANIE 03

Część wspólna przedziałów

Wyznacz $[1,4]\cap(3,6)$ .

$[1,6)$

$(3,4]$

$[1,3]$

$\varnothing$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(3,4]$

Wspólna część zaczyna się tuż za $3$ i kończy na $4$ włącznie, więc wynosi $(3,4]$ .

PYTANIE 04

Kiedy wynik jest pusty?

Wyznacz $[1,2]\cap(2,5)$ .

$\varnothing$

$\{2\}$

$[1,5)$

$(1,5)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\varnothing$

Liczba $2$ nie należy do drugiego przedziału, a innych wspólnych liczb nie ma.

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Najpierw czytaj symbol działania, dopiero potem zapisuj wynik.

Zapamiętaj

$\cup$ łączy elementy z obu zbiorów.

$\cap$ zostawia tylko elementy wspólne.

$\setminus$ usuwa drugi zbiór z pierwszego.