Przedziały liczbowe

ZANIM ZACZNIESZ

W tej lekcji nauczysz się odczytywać przedziały z nawiasów, zamieniać je na nierówności i zapisywać półproste z nieskończonością.

Na start

najpierw ustalimy, co oznaczają nawiasy w zapisie $[2,5)$

potem przełożymy przedział na zapis typu $2\le x<5$

na końcu zapiszemy przedziały z $\infty$

Po tej lekcji:

odczytasz przedział liczbowy
połączysz nawiasy z nierównościami
zapiszesz półprostą z nieskończonością

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Okrągły czy kwadratowy

Nawias przy końcu przedziału mówi, czy ten koniec jest włączony. Przedział obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste między podanymi granicami, także ułamki. Na przykład $[2,5)$ zawiera $2$ , $2{,}5$ i $4{,}99$ , ale nie zawiera $5$ .

$[$ albo $]$ oznacza koniec włączony.

$($ albo $)$ oznacza koniec wyłączony.

Zapamiętaj

$[2,5)$ zawiera $2$ , ale nie zawiera $5$ .

02WYJAŚNIENIE

$[-1,1)$ na osi

Pełna kropka przy lewym końcu oznacza, że liczba należy do przedziału. Pusta kropka przy prawym końcu oznacza, że liczba jest tylko granicą.

−1 ≤ x < 1. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

03WYJAŚNIENIE

Przedział i nierówność

Ten sam zbiór liczb można zapisać przedziałem albo nierównością.

$[2,5)$ to liczby spełniające $2\le x<5$ .

$(2,5)$ to liczby spełniające $2<x<5$ .

$[2,5]$ to liczby spełniające $2\le x\le5$ .

Wskazówka

W zapisie nierówności znak z kreską, czyli $\le$ albo $\ge$ , odpowiada nawiasowi kwadratowemu.

04WYJAŚNIENIE

Przedziały bez jednego końca

Gdy liczby idą bez ograniczenia w lewo albo w prawo, używamy symbolu nieskończoności. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły, bo nieskończoność nie jest liczbą.

$x\ge3$ zapisujemy jako $[3,\infty)$ .

$x<4$ zapisujemy jako $(-\infty,4)$ .

Półproste

$\infty$ nie dostaje nawiasu kwadratowego.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Która liczba należy do przedziału?

Która liczba należy do przedziału $[2,5)$ ?

$1$

$2$

$5$

$6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$2$

Lewy koniec jest włączony, więc $2$ należy. Prawy koniec jest wyłączony, więc $5$ nie należy.

PYTANIE 02

Która nierówność opisuje przedział?

Która nierówność opisuje przedział $(-3,2]$ ?

$-3\le x\le2$

$-3<x<2$

$-3<x\le2$

$x<-3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$-3<x\le2$

Lewa granica jest wyłączona, więc $-3<x$ . Prawa jest włączona, więc $x\le2$ .

PYTANIE 03

Jak zapisać półprostą?

Zapis $x\ge3$ odpowiada przedziałowi:

$(3,\infty)$

$[3,\infty)$

$(-\infty,3]$

$(-\infty,3)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$[3,\infty)$

Liczba $3$ należy do zbioru, więc przy niej jest nawias kwadratowy. Dalej idziemy w prawo do $\infty$ .

PYTANIE 04

Który zapis jest niemożliwy?

Który zapis jest niemożliwy jako poprawny zapis przedziału?

$(-\infty,4)$

$[1,4)$

$[-\infty,4)$

$(1,4]$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$[-\infty,4)$

Przy $-\infty$ nie może stać nawias kwadratowy, bo nieskończoność nie jest liczbą ani końcem należącym do przedziału.

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Przedział czytamy od końców i nawiasów.

Zapamiętaj

$[$ oraz $]$ włączają koniec.

$($ oraz $)$ wyłączają koniec.

Przy $\infty$ zawsze używamy nawiasu okrągłego.

Przedziały liczbowe