Zbiory liczbowe i ich oznaczenia - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Zbiory liczbowe

W tej lekcji uporządkujesz podstawowe rodzaje liczb. Nauczysz się czytać symbole zbiorów, sprawdzać przynależność liczby i wybierać najdokładniejszy opis w zadaniach.

Na start

oznaczenia $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$

zawieranie się zbiorów liczbowych

klasyfikacja liczb po uproszczeniu zapisu

Po tej lekcji:

rozpoznasz zbiory liczbowe N, Z, Q i R
odróżnisz liczby wymierne od niewymiernych
wybierzesz najmniejszy poprawny zbiór dla danej liczby

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby używane do podawania liczby elementów i numerowania. W tej lekcji przyjmujemy konwencję z zerem.

Karty z liczbami naturalnymi zero, jeden, dwa, trzy i wielokropkiem oraz podpisami bez liczb ujemnych i bez części ułamkowej.

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}$

liczby naturalne nie są ujemne

liczby naturalne nie mają części ułamkowej

Wskazówka

Jeśli w zadaniu podano inną konwencję, trzymaj się treści zadania. Bez dodatkowej informacji przyjmujemy tu, że $0\in\mathbb{N}$ .

02WYJAŚNIENIE

Liczby całkowite

Liczby całkowite rozszerzają liczby naturalne o liczby ujemne. O przynależności decyduje wartość, a nie wygląd zapisu: $\frac{6}{3}=2$ i $2{,}0=2$ też są liczbami całkowitymi.

Oś liczbowa od minus cztery do cztery z zaznaczonymi wszystkimi liczbami całkowitymi.

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$

$7\in\mathbb{Z}$ , bo nie ma części ułamkowej.

$-5\in\mathbb{Z}$ , ale $-5\notin\mathbb{N}$ .

Zapamiętaj

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$

03WYJAŚNIENIE

Liczby wymierne

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych. Mianownik nie może być zerem.

Trzy przykłady liczb wymiernych zapisanych jako ułamki: minus trzy, zero przecinek siedemdziesiąt pięć oraz dwa i trzy w okresie.

$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\ne0\right\}$

$-3=\frac{-3}{1}$ , więc każda liczba całkowita jest wymierna.

$0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$ , więc skończone rozwinięcie dziesiętne jest wymierne.

Zapamiętaj

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$

04WYJAŚNIENIE

Liczby niewymierne

Liczby niewymiernej nie da się zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

$\sqrt{2}=1{,}4142135\ldots$ jest niewymierna.

$\pi=3{,}1415926\ldots$ jest niewymierna.

$\sqrt{16}=4$ jest wymierna, bo po uproszczeniu dostajemy liczbę całkowitą.

Wskazówka

Sam znak pierwiastka nie przesądza o niewymierności. Najpierw uprość liczbę, jeśli się da.

05WYJAŚNIENIE

Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste to liczby leżące na osi liczbowej. Obejmują liczby wymierne oraz niewymierne.

Zagnieżdżone obszary N, Z i Q wewnątrz R oraz osobny obszar liczb niewymiernych z przykładami pierwiastek z dwóch i pi.

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ , ale $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ .

Zapamiętaj

Liczby niewymierne są w $\mathbb{R}$ , ale poza $\mathbb{Q}$ .

06WYJAŚNIENIE

Symbole przynależności

Symbol przynależności mówi, czy pojedyncza liczba jest elementem danego zbioru. O przynależności decyduje wartość liczby, a nie sam wygląd zapisu.

$5\in\mathbb{N}$ czytamy: $5$ należy do $\mathbb{N}$ .

$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ czytamy: $\sqrt{2}$ nie należy do $\mathbb{Q}$ .

$\frac{8}{4}=2$ , więc $\frac{8}{4}\in\mathbb{N}$ .

Wskazówka

Symbol $\in$ dotyczy elementu i zbioru. Symbol $\subset$ porównuje dwa zbiory.

07WYJAŚNIENIE

Najmniejszy pasujący zbiór

Jedna liczba może należeć do kilku zbiorów naraz. Gdy polecenie pyta o najdokładniejszy opis, wybieramy najmniejszy zbiór z podanych.

Ścieżka wyboru najmniejszego zbioru: najpierw N, potem Z, potem Q, a na końcu R.

$4\in\mathbb{N}$ , więc należy też do $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ ; najmniejszy opis to $\mathbb{N}$ .

$-6\notin\mathbb{N}$ , ale $-6\in\mathbb{Z}$ ; najmniejszy opis to $\mathbb{Z}$ .

$\frac{2}{3}\in\mathbb{Q}$ i nie jest całkowita; najmniejszy opis to $\mathbb{Q}$ .

Zapamiętaj

Najpierw uprość zapis, potem klasyfikuj liczbę.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Najmniejszy zbiór

Do którego najmniejszego zbioru spośród $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ należy liczba $-8$ ?

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\mathbb{Z}$

$-8$ jest całkowita, ale nie jest naturalna. Należy też do większych zbiorów, ale najmniejszy pasujący zbiór to $\mathbb{Z}$ .

PYTANIE 02

Liczba niewymierna

Która liczba jest niewymierna?

$\sqrt{4}$

$\frac{7}{3}$

$0{,}25$

$\sqrt{5}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$\sqrt{5}$

$\sqrt{4}=2$ , więc jest wymierna. Liczby $\frac{7}{3}$ i $0{,}25$ też są wymierne. Niewymierna jest liczba $\sqrt{5}$ .

PYTANIE 03

Prawda czy fałsz

Który zapis jest fałszywy?

$3\in\mathbb{N}$

$-2\in\mathbb{Z}$

$\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}$

$\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$

$\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną, więc nie należy do $\mathbb{Q}$ . Poprawny zapis to $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ .

PYTANIE 04

Najpierw uprość

Liczba $\frac{12}{4}$ należy do najmniejszego zbioru:

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q}$

tylko $\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\mathbb{N}$

$\frac{12}{4}=3$ , a $3$ jest liczbą naturalną. Najmniejszy pasujący zbiór to $\mathbb{N}$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Zbiory liczbowe tworzą porządek od najwęższego opisu do najszerszego.

Zapamiętaj

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

liczby wymierne da się zapisać jako $\frac{p}{q}$ , gdzie $q\ne0$ .

liczby niewymierne należą do $\mathbb{R}$ , ale nie należą do $\mathbb{Q}$ .