Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozwiązywać zadania, w których trzeba znaleźć najlepszą możliwość: największe pole, największy zysk albo najmniejszy koszt.

Na start

najpierw wybierasz zmienną

potem budujesz funkcję jednej zmiennej

na końcu interpretujesz wierzchołek w treści zadania

Po tej lekcji:

zbudujesz funkcję kwadratową z treści zadania
ustalisz dziedzinę wynikającą z sytuacji
zinterpretujesz wierzchołek jako najlepszy wynik

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Stały schemat zadania optymalizacyjnego

Najwięcej błędów powstaje przed rachunkami. Najpierw nazwij zmienną, zapisz funkcję i ustal dziedzinę z treści. Potem sprawdź, czy wierzchołek należy do tej dziedziny. Na przedziale domkniętym porównaj także wartości na jego końcach; dla zmiennej całkowitej sprawdź dopuszczalne liczby całkowite najbliższe wierzchołkowi.

Nazwij zmienną.

Zbuduj funkcję, której wartość optymalizujesz.

Ustal dziedzinę z treści zadania.

Sprawdź wierzchołek oraz inne dopuszczalne miejsca, w których może wystąpić szukane ekstremum. Odpowiedz z jednostką.

02WYJAŚNIENIE

Największe pole prostokąta przy stałym obwodzie

Spośród prostokątów o obwodzie $40$ cm szukamy tego o największym polu. Boki $x$ i $y$ mierzymy w centymetrach. Z równania obwodu wyznaczamy jeden bok przez drugi, a następnie podstawiamy do wzoru na pole.

Prostokąt z bokami x i 20 minus x oraz mały kwadrat 10 na 10 jako wynik.

$2x+2y=40$

$x+y=20$

$y=20-x$

$P(x)=x(20-x)=-x^2+20x$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Wierzchołek funkcji $P(x)=-x^2+20x$ ma $p=10$ . Drugi bok to też $10$ , więc największe pole ma kwadrat $10\text{ cm}\times10\text{ cm}$ .

03WYJAŚNIENIE

Dziedzina w zadaniu z prostokątem

Boki prostokąta o obwodzie $40$ cm mają długości $x$ i $20-x$ . Oba muszą być dodatnie, więc $0<x<20$ . Znaleziony argument wierzchołka $x=10$ spełnia ten warunek, a pole wynosi $10\cdot10=100\text{ cm}^2$ .

0 < x < 20. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

$x>0$

$20-x>0$

$0<x<20$

Wskazówka

W zadaniu geometrycznym długości nie mogą być ujemne ani zerowe.

04WYJAŚNIENIE

Największy iloczyn dwóch liczb o stałej sumie

Suma dwóch liczb wynosi trzydzieści. Chcemy wyznaczyć liczby o największym iloczynie, więc jedną zapisujemy jako zmienną, a drugą jako trzydzieści minus ta zmienna.

Dwie liczby x i trzydzieści minus x prowadzące do funkcji iloczynu.

$I(x)=x(30-x)=-x^2+30x$

$p=\frac{-30}{2\cdot(-1)}=15$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Największy iloczyn mają liczby $15$ i $15$ .

05WYJAŚNIENIE

Zadanie z ogrodzeniem przy ścianie

Mamy dwadzieścia cztery metry siatki na trzy boki prostokątnego wybiegu przylegającego czwartym bokiem do ściany. Obliczymy wymiary dające największe pole.

Wybieg przy ścianie z dwoma bokami x i trzecim bokiem y równym 24 minus 2x.

$2x+y=24$

$y=24-2x$

$P(x)=x(24-2x)=-2x^2+24x$

$p=6,\quad y=12$

Wskazówka

Nie zapisuj tutaj $2x+2y=24$ . Jeden bok jest ścianą, więc nie zużywa siatki.

06WYJAŚNIENIE

Największy przychód ze sprzedaży biletów

Cena biletu wynosi sto złotych, a kupuje go sześćdziesiąt osób. Każda podwyżka o dziesięć złotych zmniejsza liczbę klientów o pięć. Obliczymy liczbę podwyżek dającą największy przychód.

Cena i liczba osób jako dwa czynniki funkcji przychodu.

Litera $x$ oznacza liczbę podwyżek po $10$ zł: $x\in\{0,1,\ldots,12\}$ . Przychód to cena razy liczba klientów; zysk wymagałby jeszcze odjęcia kosztów. Dla $x=1$ przychód wynosi $110\cdot55=6050$ zł.

$R(x)=(100+10x)(60-5x)$

$R(x)=-50x^2+100x+6000$

$p=1$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Największy przychód według modelu jest dla jednej podwyżki, czyli przy cenie $110\text{ zł}$ .

07WYJAŚNIENIE

Kiedy wierzchołek nie wystarczy?

W przykładzie argument oznacza liczbę przedmiotów, więc musi być całkowity. Wierzchołek ma argument cztery i pół; porównamy zatem wartości funkcji dla dwóch sąsiednich liczb całkowitych.

Wierzchołek w punkcie 4,5 i sprawdzanie sąsiednich liczb całkowitych 4 i 5.

$Z(x)=-2x^2+18x+5$

$p=4{,}5$

$Z(4)=45,\quad Z(5)=45$

Wskazówka

Jeśli zmienna oznacza liczbę przedmiotów, osób lub dni, nie zawsze można zostawić wynik z przecinkiem.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Obwód prostokąta

Prostokąt ma obwód $28\text{ cm}$ . Jeden bok oznaczono przez $x$ . Drugi bok można zapisać jako:

$28-x$

$14-x$

$2x-28$

$x-14$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$14-x$

Z obwodu $2x+2y=28$ dostajemy $x+y=14$ , więc $y=14-x$ .

PYTANIE 02

Wierzchołek pola

Dla funkcji pola $P(x)=-x^2+18x$ największa wartość jest osiągana dla:

$x=9$

$x=18$

$x=-9$

$x=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x=9$

$p=\frac{-18}{2\cdot(-1)}=9$ . Ponieważ $a<0$ , wierzchołek daje maksimum.

PYTANIE 03

Stała suma

Dwie liczby mają sumę $20$ . Jeśli pierwsza to $x$ , to ich iloczyn opisuje funkcja:

$I(x)=x+20$

$I(x)=x(20-x)$

$I(x)=20x+x$

$I(x)=x^2+20$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$I(x)=x(20-x)$

Druga liczba to $20-x$ , więc iloczyn to $x(20-x)$ .

PYTANIE 04

Przy ścianie

Przy ścianie zbudowano wybieg. Siatka długości $30\text{ m}$ otacza trzy boki. Jeśli dwa boki prostopadłe do ściany mają długość $x$ , to trzeci bok ma długość:

$30-x$

$30-2x$

$15-x$

$2x-30$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$30-2x$

Siatka jest na trzech bokach, więc $2x+y=30$ . Stąd $y=30-2x$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W zadaniach optymalizacyjnych najpierw wybierasz zmienną, zapisujesz szukaną wielkość jako funkcję i ustalasz dziedzinę. Wierzchołek może być odpowiedzią tylko wtedy, gdy jego argument jest dopuszczalny. Na przedziale domkniętym porównaj także wartości na końcach; przy zmiennej całkowitej sprawdź dopuszczalne liczby całkowite najbliższe wierzchołkowi. Zapisz wynik z jednostką i sprawdź go w treści zadania.

Zapamiętaj

$a<0$ daje maksimum

$a>0$ daje minimum

Dziedzina wynika z sytuacji, np. długości muszą być dodatnie.

Jeśli zmienna musi być całkowita, sprawdź najbliższe liczby całkowite.