Modele i zadania tekstowe z funkcją kwadratową - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się czytać zadania tekstowe z funkcją kwadratową. Wynik liczbowy trzeba połączyć z sytuacją: czasem, długością, ceną, polem albo liczbą sztuk.

Na start

ustalasz, co oznacza zmienna

rozumiesz, co oznacza wartość funkcji

interpretujesz miejsca zerowe, wierzchołek i równania

Po tej lekcji:

odczytasz znaczenie argumentu i wartości funkcji w modelu
zinterpretujesz miejsca zerowe i wierzchołek
odrzucisz wyniki bez sensu w treści zadania

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Jak czytać model funkcji kwadratowej?

Jeśli w zadaniu podano wzór, najpierw ustal znaczenie zmiennej i wartości funkcji. Dopiero potem licz.

Parabola z podpisanym startem, końcem i maksimum jako elementami modelu.

Sprawdź, co oznacza argument.

Sprawdź, co oznacza wartość funkcji.

Zwróć uwagę na jednostki.

Po obliczeniu odrzuć wyniki bez sensu.

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Dla $h(t)=-5t^2+20t$ zmienna $t$ oznacza czas, a $h(t)$ wysokość piłki.

02WYJAŚNIENIE

Wartość funkcji jako odpowiedź na pytanie „ile?”

Wysokość piłki w metrach po upływie określonej liczby sekund opisuje funkcja zapisana w pierwszym kroku. Obliczymy wysokość po trzech sekundach przez podstawienie argumentu.

$h(t)=-5t^2+20t$

$h(3)=-5\cdot3^2+20\cdot3=15$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Po $3$ sekundach piłka jest na wysokości $15\text{ m}$ .

Wskazówka

Nie rozwiązuj równania, jeśli pytanie brzmi „ile wynosi dla $t=3$ ?”. Wtedy podstawiasz.

03WYJAŚNIENIE

Miejsce zerowe jako moment albo granica

W modelu lotu piłki zapisanym w pierwszym kroku miejsca zerowe oznaczają chwile, w których piłka znajduje się na ziemi. Obliczymy moment startu i moment upadku.

Lot piłki z miejscami zerowymi start i powrót oraz wierzchołkiem jako maksimum.

$-5t^2+20t=0$

$-5t(t-4)=0$

$t=0 \text{ lub } t=4$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Czas $t=0$ oznacza start. Powrót na ziemię następuje po $4$ sekundach.

04WYJAŚNIENIE

Wierzchołek jako największa wysokość

Wysokość piłki opisuje funkcja zapisana w pierwszym kroku. Jej parabola ma ramiona skierowane w dół, więc z wierzchołka odczytamy moment osiągnięcia największej wysokości i tę wysokość.

$h(t)=-5t^2+20t$

$p=\frac{-20}{2\cdot(-5)}=2$

$h(2)=20$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Piłka osiąga największą wysokość $20\text{ m}$ po $2$ sekundach.

05WYJAŚNIENIE

Model przychodu ze sprzedaży

Cena początkowa wynosi dwadzieścia złotych, a liczba klientów sto. Każda podwyżka o złotówkę zmniejsza liczbę klientów o pięć. Zapiszemy przychód jako iloczyn nowej ceny i liczby klientów. Zmienna oznacza liczbę jednokrotnych podwyżek.

$R(x)=(20+x)(100-5x)$

$R(x)=-5x^2+2000$

Wskazówka

Nie dodawaj ceny i liczby sztuk. Przychód to iloczyn: cena razy liczba sztuk.

06WYJAŚNIENIE

Interpretacja dziedziny w modelu sprzedaży

W tym modelu zmienna oznacza liczbę podwyżek ceny, a liczba klientów jest opisana wyrażeniem pokazanym w drugim warunku. Ani liczba podwyżek, ani liczba klientów nie mogą być ujemne. Ponieważ podwyżki są jednokrotne, o złotówkę, w tym modelu $x$ jest liczbą całkowitą. Dziedzina to $\{0,1,\ldots,20\}$ .

$x\ge0$

$100-5x\ge0$

$0\le x\le20$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Sensowne są wartości od $0$ do $20$ podwyżek. Więcej dawałoby ujemną sprzedaż.

07WYJAŚNIENIE

Model pola z treści geometrycznej

Z kwadratowego arkusza o boku dziesięć wycinamy w narożnikach kwadraty o boku równym zmiennej. Obliczymy pole kwadratowej podstawy powstałego pudełka.

Bok arkusza ma $10$ cm, a bok wycinanego kwadratu $x$ cm. Z każdej krawędzi ubywa po $x$ z obu końców, stąd bok podstawy $10-2x$ . Dla pudełka wymagamy $0<x<5$ . Liczymy pole podstawy, a nie objętość pudełka.

Kwadrat z odciętymi narożnikami i podstawą o boku dziesięć minus dwa x.

$P(x)=(10-2x)^2$

$P(x)=100-40x+4x^2$

Wskazówka

Najpierw podpisz odcinki. Wzór na funkcję często pojawia się dopiero po dobrym rysunku.

08WYJAŚNIENIE

Równanie z modelem: kiedy wartość jest konkretna?

W modelu lotu piłki pytamy, po jakim czasie wysokość wynosi piętnaście metrów. Układamy równanie z podaną wysokością i otrzymujemy dwa momenty: podczas wznoszenia i opadania.

Pozioma linia wysokości 15 przecina parabolę lotu w dwóch punktach t równe 1 i t równe 3.

$-5t^2+20t=15$

$t^2-4t+3=0$

$(t-1)(t-3)=0$

$t=1 \text{ lub } t=3$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Piłka jest na wysokości $15\text{ m}$ dwa razy: po $1$ sekundzie i po $3$ sekundach.

09WYJAŚNIENIE

Co oznaczają elementy paraboli w zadaniu?

Ten sam wykres może dać kilka informacji. Przecięcie z osią y, miejsca zerowe i wierzchołek mają różne znaczenie.

Schemat paraboli z interpretacją startu, końca i maksimum.

$h(0)=0 \text{ — start}$

$h(t)=0 \text{ — ziemia}$

$W \text{ — największa wysokość}$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Podstawianie

Wysokość piłki opisuje funkcja $h(t)=-5t^2+10t$ . Ile wynosi $h(1)$ ?

$0$

$5$

$10$

$15$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

$h(1)=-5\cdot1^2+10\cdot1=-5+10=5$ .

PYTANIE 02

Powrót na ziemię

Funkcja $h(t)=-5t^2+20t$ opisuje wysokość piłki. Kiedy piłka wróci na ziemię?

Po $0$ sekundach

Po $2$ sekundach

Po $4$ sekundach

Po $20$ sekundach

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

Po $4$ sekundach

Rozwiązujemy $h(t)=0$ : $-5t(t-4)=0$ . Mamy $t=0$ lub $t=4$ . Powrót po starcie to $t=4$ .

PYTANIE 03

Czynnik w przychodzie

Przychód opisuje funkcja $R(x)=(30+x)(80-2x)$ . Co oznacza czynnik $80-2x$ , jeśli $x$ oznacza liczbę podwyżek ceny?

Cenę po podwyżkach

Liczbę sprzedanych sztuk

Maksymalny przychód

Koszt produkcji

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

Liczbę sprzedanych sztuk

Przychód to cena razy liczba sztuk. Czynnik $30+x$ opisuje cenę, a $80-2x$ liczbę sprzedanych sztuk.

PYTANIE 04

Dziedzina pudełka

Funkcja $P(x)=(12-2x)^2$ opisuje pole podstawy pudełka. Dla jakich $x$ bok $12-2x$ jest dodatni?

$x<6$

$x>6$

$x=6$

$x<12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x<6$

Warunek to $12-2x>0$ . Stąd $-2x>-12$ , czyli $x<6$ .

PYTANIE 05

Maksimum modelu

Funkcja $f(x)=-x^2+6x$ opisuje model dla $x\ge0$ . Dla jakiego $x$ osiąga największą wartość?

$x=0$

$x=3$

$x=6$

$x=-3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=3$

$p=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3$ . Ponieważ $a<0$ , wierzchołek daje maksimum.

NA KONIEC

Podsumowanie

W zadaniu tekstowym najpierw ustal, co oznacza argument i wartość funkcji. Dopiero potem wybierz działanie: podstawienie, równanie, wierzchołek albo porównanie wartości.

Zapamiętaj

Podstawianie odpowiada na pytanie „ile dla danego argumentu?”.

$f(x)=0$ często oznacza moment końca albo poziom odniesienia.

$f(x)=k$ może mieć dwa rozwiązania.

Wynik musi mieć sens i jednostkę w treści zadania.