Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się znajdować najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej. Najpierw patrzysz na kształt paraboli, potem na wierzchołek, a na końcu na przedziały i ich końce.

Na start

na całej osi parabola ma minimum albo maksimum

w postaci kanonicznej ekstremum widać od razu

na przedziale porównujesz końce i wierzchołek, jeśli należy do przedziału

Po tej lekcji:

rozpoznasz minimum i maksimum z kształtu paraboli
odczytasz wartość ekstremalną z postaci kanonicznej
porównasz wartości funkcji na zamkniętym przedziale

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ramiona paraboli mówią, czego szukasz

Jeśli ramiona idą w górę, najniższy punkt jest w wierzchołku. Jeśli ramiona idą w dół, najwyższy punkt jest w wierzchołku.

Dwie parabole: z minimum dla a dodatniego i maksimum dla a ujemnego.

$f(x)=ax^2+bx+c$

$a>0\ \Rightarrow\ \text{minimum}$

$a<0\ \Rightarrow\ \text{maksimum}$

PRZYKŁAD

Funkcja $f(x)=2x^2-4x+1$ ma minimum czy maksimum?

Rozwiązanie

Tu $a=2>0$ , więc ramiona są skierowane w górę. Funkcja ma najmniejszą wartość.

02WYJAŚNIENIE

Postać kanoniczna od razu pokazuje wierzchołek

W postaci kanonicznej wierzchołek nie wymaga liczenia. Zapis $a(x-p)^2+q$ pokazuje punkt $W=(p,q)$ .

Postać kanoniczna prowadzi bezpośrednio do wierzchołka W równa się p q.

$f(x)=a(x-p)^2+q$

$W=(p,q)$

$3(x-2)^2-5\ \Rightarrow\ W=(2,-5)$

Wskazówka

W zapisie $3(x-2)^2-5$ mamy $p=2$ , a nie $-2$ .

03WYJAŚNIENIE

Dlaczego wierzchołek daje minimum?

Kwadrat liczby nigdy nie jest ujemny. Dlatego składnik $(x-2)^2$ jest najmniejszy wtedy, gdy wynosi $0$ .

$(x-2)^2\ge0$

$3(x-2)^2\ge0$

$3(x-2)^2-5\ge -5$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Minimum wynosi $-5$ , bo składnik kwadratowy nie może zejść poniżej zera. Dzieje się to dla $x=2$ .

04WYJAŚNIENIE

Wierzchołek z postaci ogólnej

Gdy funkcja jest w postaci ogólnej, najpierw liczysz pierwszą współrzędną wierzchołka, a potem podstawiasz ją do funkcji.

Schemat liczenia p i q dla funkcji z postaci ogólnej.

$f(x)=ax^2+bx+c$

$p=\frac{-b}{2a}$

$q=f(p)$

PRZYKŁAD

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-6x+4$ .

Rozwiązanie

Mamy $p=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=3$ . Liczymy $f(3)=9-18+4=-5$ . Najmniejsza wartość to $-5$ .

Wskazówka

Nie kończ na $p$ . Wartość ekstremalna to $q=f(p)$ .

05WYJAŚNIENIE

Funkcja może nie mieć drugiego ekstremum na całej osi

Parabola skierowana w górę ma minimum, ale nie ma maksimum na całej osi. Parabola skierowana w dół ma maksimum, ale nie ma minimum.

Dwie parabole pokazujące brak maksimum albo brak minimum na całej osi.

$a>0\ \Rightarrow\ \text{minimum, brak maksimum na }\mathbb{R}$

$a<0\ \Rightarrow\ \text{maksimum, brak minimum na }\mathbb{R}$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Dla $f(x)=-2(x+1)^2+7$ mamy wierzchołek $W=(-1,7)$ i największą wartość $7$ .

06WYJAŚNIENIE

Najmniejsza i największa wartość na przedziale

Na zamkniętym przedziale funkcja kwadratowa ma zarówno najmniejszą, jak i największą wartość. Sprawdzasz końce oraz wierzchołek, jeśli leży w przedziale.

Parabola na przedziale od 0 do 5 z zaznaczonym minimum w wierzchołku i maksimum na końcu.

$p=\frac{-b}{2a}$

$f(0)=1,\quad f(2)=-3,\quad f(5)=6$

$\min=-3,\quad \max=6$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Dla $f(x)=x^2-4x+1$ na $[0,5]$ porównujemy $f(0)$ , $f(2)$ i $f(5)$ .

07WYJAŚNIENIE

Gdy wierzchołek nie leży w przedziale

Jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka wypada poza przedziałem, nie bierzesz tej wartości do porównania. Porównujesz tylko punkty z przedziału.

Oś pokazująca przedział od 0 do 2 i wierzchołek p równe 3 poza przedziałem.

Tutaj rozpatrujemy $f(x)=x^2-6x+5$ na $[0,2]$ . Wierzchołek ma $p=3$ , poza dziedziną zadania. Porównujemy końce: najmniejsza wartość to $-3$ , największa $5$ .

$p=3\notin[0,2]$

$f(0)=5$

$f(2)=-3$

Wskazówka

Nie podstawiaj wierzchołka automatycznie. Najpierw sprawdź, czy jego $p$ należy do przedziału.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Postać kanoniczna

Funkcja $f(x)=2(x-3)^2+1$ jest określona dla $x\in\mathbb{R}$ . Jaka jest jej najmniejsza wartość?

$2$

$3$

$1$

$-3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$1$

Wierzchołek to $W=(3,1)$ , a $a=2>0$ . Najmniejsza wartość to $1$ .

PYTANIE 02

Maksimum

Funkcja $f(x)=-(x+2)^2+5$ jest określona dla $x\in\mathbb{R}$ . Jaka jest jej największa wartość?

$-2$

$5$

$-5$

$2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

Wierzchołek to $W=(-2,5)$ , a ramiona są skierowane w dół. Największa wartość to $5$ .

PYTANIE 03

Współrzędna p

Dla funkcji $f(x)=x^2-8x+10$ pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi:

$-8$

$-4$

$4$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$4$

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=4$ .

PYTANIE 04

Przedział

Funkcja $f(x)=x^2-2x$ jest rozpatrywana w przedziale $[0,3]$ . Które wartości trzeba porównać?

Tylko $f(0)$ i $f(3)$

Tylko $f(1)$

$f(0), f(1), f(3)$

$f(-1), f(0), f(3)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$f(0), f(1), f(3)$

Wierzchołek ma $p=1$ , a $1\in[0,3]$ . Porównujemy końce i wierzchołek.

NA KONIEC

Podsumowanie

Ekstremum funkcji kwadratowej znajduje się w wierzchołku paraboli. Na przedziale zamkniętym trzeba porównać także wartości na końcach przedziału.

Zapamiętaj

$a>0$ oznacza minimum na $\mathbb{R}$

$a<0$ oznacza maksimum na $\mathbb{R}$

$f(x)=a(x-p)^2+q$ ma ekstremum równe $q$

Na przedziale sprawdź końce i wierzchołek, jeśli należy do przedziału.