Zadania przekrojowe: prawdopodobieństwo i statystyka - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Będziesz pracować z danymi i zdarzeniami losowymi. Nauczysz się rozpoznawać, kiedy liczyć wszystkie wyniki, kiedy użyć prawdopodobieństwa klasycznego, a kiedy średniej albo mediany.

Na start

W prawdopodobieństwie najpierw ustal wszystkie możliwe wyniki.

W statystyce uporządkuj dane i sprawdź, o jaką miarę pyta zadanie.

Po tej lekcji:

policzysz wyniki sprzyjające i wszystkie możliwości
zastosujesz zdarzenie przeciwne
połączysz średnią, medianę i dane z tabeli

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Prawdopodobieństwo klasyczne

Rzucamy zwykłą sześcienną kostką i pytamy o prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej od czterech. Wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc liczymy wyniki sprzyjające i wszystkie.

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$A=\{5,6\}$

$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

02WYJAŚNIENIE

Dwa rzuty: para uporządkowana

Rzucamy monetą dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła. Przy dwóch etapach wynik opisujemy w kolejności, dlatego $OR$ i $RO$ są różnymi wynikami.

Drzewko wyników dwóch rzutów monetą z wyróżnionymi wynikami OR i RO.

$\Omega=\{OO,OR,RO,RR\}$

Dokładnie jeden orzeł: $OR$ albo $RO$ .

$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

03WYJAŚNIENIE

Zdarzenie przeciwne bywa krótsze

Rzucamy monetą dwa razy i szukamy prawdopodobieństwa otrzymania co najmniej jednego orła. Łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne, czyli brak orłów, i użyć dopełnienia.

$P(A)=1-P(A')$

Co najmniej jeden orzeł ma zdarzenie przeciwne: brak orłów.

$P(RR)=\frac{1}{4}$

$P=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Wskazówka

Sformułowanie „co najmniej jeden” często sugeruje policzenie „ani jeden”.

04WYJAŚNIENIE

Średnia arytmetyczna

Średnia czterech liczb: sześć, osiem, dziesięć i jednej nieznanej wynosi dziewięć. Obliczymy brakującą liczbę, zapisując równanie ze średnią.

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$

$\frac{6+8+10+x}{4}=9$

$\frac{24+x}{4}=9$

$x=12$

05WYJAŚNIENIE

Mediana wymaga uporządkowania danych

Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych. Przy parzystej liczbie danych bierzemy średnią dwóch środkowych wartości.

$7,2,9,4,5\to2,4,5,7,9$

$\operatorname{Me}=5$

$2,4,7,10$

$\operatorname{Me}=\frac{4+7}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5$

Wskazówka

Nie wybieraj środka z nieuporządkowanej listy.

06WYJAŚNIENIE

Średnia ważona z tabeli

W danych liczba trzy występuje dwa razy, liczba cztery trzy razy, a liczba pięć jeden raz. Obliczymy średnią ważoną, mnożąc każdą wartość przez jej liczebność.

$3\cdot2+4\cdot3+5\cdot1=23$

$2+3+1=6$

$\overline{x}=\frac{23}{6}$

07WYJAŚNIENIE

Prawdopodobieństwo z liczbą elementów

Losujemy jedną liczbę całkowitą od jednego do dwudziestu. Obliczymy prawdopodobieństwo, że będzie podzielna przez cztery, najpierw wypisując wyniki sprzyjające.

$\{1,2,3,\ldots,20\}$

Podzielne przez $4$ : $4,8,12,16,20$ .

$P=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Kostka

Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej wynosi:

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\frac{1}{2}$

Liczby parzyste to $2,4,6$ , czyli $3$ wyniki z $6$ .

PYTANIE 02

Mediana

Mediana danych $3,8,1,6,4$ wynosi:

$3$

$4$

$5$

$6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4$

Po uporządkowaniu mamy $1,3,4,6,8$ , więc środkowa wartość to $4$ .

PYTANIE 03

Dwa rzuty monetą

Przy dwóch rzutach monetą prawdopodobieństwo wyniku $OO$ wynosi:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\frac{1}{4}$

Są cztery jednakowo prawdopodobne wyniki: $OO,OR,RO,RR$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Najpierw uporządkuj wyniki albo dane, a dopiero potem licz prawdopodobieństwo, średnią lub medianę.

Zapamiętaj

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$

$P(A)=1-P(A')$

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$

Mediana wymaga uporządkowania danych.