Zadania przekrojowe: geometria i trygonometria - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W zadaniach geometrycznych rysunek często zawiera więcej informacji, niż podaje tekst. Nauczysz się wydobywać z niego trójkąty prostokątne, równe kąty i potrzebne odcinki.

Na start

Najpierw zaznacz dane na rysunku.

Potem wybierz odpowiedni trójkąt albo figurę.

Nie licz wszystkiego, tylko to, co prowadzi do celu.

Po tej lekcji:

znajdziesz ukryty trójkąt prostokątny
połączysz Pitagorasa, sinus i podobieństwo
wykorzystasz okrąg oraz układ współrzędnych

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pitagoras jako etap pośredni

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości sześć i osiem. Obliczymy przeciwprostokątną, a potem sinus kąta leżącego naprzeciw krótszej przyprostokątnej.

$c^2=6^2+8^2=100$

$c=10$

$\sin\alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

02WYJAŚNIENIE

Pole trójkąta z sinusem

Obliczymy pole trójkąta o bokach długości osiem i dziesięć oraz kącie trzydzieści stopni między nimi. Nie trzeba szukać wysokości, bo dane pasują do wzoru z sinusem. Długości obu boków są podane w centymetrach.

$P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$

$P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot10\cdot\frac{1}{2}$

$P=20 \text{cm}^2$

Wskazówka

Kąt $\gamma$ musi leżeć między bokami $a$ i $b$ .

03WYJAŚNIENIE

Podobieństwo pozwala uniknąć osobnych obliczeń

W podobnych trójkątach odpowiadające boki są proporcjonalne, więc jedna skala działa na wszystkie odpowiadające długości.

Dwa podobne trójkąty z odpowiadającymi bokami i skalą pięć drugich.

Bokowi długości $4$ w pierwszym trójkącie odpowiada bok długości $10$ w drugim. Szukamy boku drugiego trójkąta odpowiadającego długości $6$ w pierwszym: mnożymy ją przez tę samą skalę $10/4$ .

$k=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$

$6\cdot\frac{5}{2}=15$

04WYJAŚNIENIE

Przekątna prostokąta tworzy trójkąt prostokątny

Prostokąt ma boki długości pięć i dwanaście. Obliczymy jego przekątną, która razem z tymi bokami tworzy trójkąt prostokątny.

$d^2=5^2+12^2$

$d^2=169$

$d=13$

05WYJAŚNIENIE

Okrąg i trójkąt prostokątny

Kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$ . W trójkącie ABC bok AB jest średnicą okręgu, a kąt BAC ma 35°. Oblicz kąt ABC. Ta własność zamienia zadanie z okręgiem w zadanie o trójkącie prostokątnym.

Trójkąt wpisany w okrąg z bokiem AB jako średnicą i kątem prostym przy C.

$\angle ACB=90^\circ$

$35^\circ+90^\circ+\angle ABC=180^\circ$

$\angle ABC=55^\circ$

06WYJAŚNIENIE

Geometria analityczna też prowadzi do Pitagorasa

Obliczymy odległość między punktami o współrzędnych jeden, dwa oraz pięć, pięć. Długość odcinka wynika z różnic odpowiednich współrzędnych.

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$AB=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}$

$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Sinus po Pitagorasie

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $5$ i $12$ . Sinus kąta leżącego naprzeciw boku $5$ wynosi:

$\frac{5}{12}$

$\frac{5}{13}$

$\frac{12}{13}$

$\frac{13}{5}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{5}{13}$

Przeciwprostokątna ma $13$ , więc $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ .

PYTANIE 02

Podobieństwo

Dwa podobne trójkąty są w skali $k=3$ . Bok mniejszego ma $7$ . Odpowiadający bok większego ma:

$10$

$14$

$21$

$49$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$21$

Długości mnożymy przez skalę: $7\cdot3=21$ .

PYTANIE 03

Kąt na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy ma:

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$90^\circ$

Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

NA KONIEC

Podsumowanie

W geometrii przekrojowej dobry rysunek często pokazuje, której metody użyć najpierw.

Zapamiętaj

Szukaj ukrytych trójkątów prostokątnych.

Pitagoras daje brakujące długości.

Trygonometria wymaga właściwych boków względem kąta.

Podobieństwo przelicza odpowiadające długości.