Zadania przekrojowe: funkcje i ciągi

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Będziesz przechodzić między trzema opisami: wzorem, wykresem i informacją słowną. Przećwiczysz też rozpoznawanie, czy zadanie dotyczy funkcji, czy ciągu.

Na start

Wykres, wzór i tabela mogą opisywać tę samą funkcję.

W ciągu najpierw ustal, czy pytanie dotyczy wyrazu, czy sumy.

Po tej lekcji:

połączysz wzór, wykres i informację słowną
odczytasz miejsca zerowe i znak funkcji
rozróżnisz pytania o wyraz ciągu i sumę

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Miejsce zerowe to równanie $f(x)=0$

Miejsce zerowe można odczytać z wykresu albo obliczyć ze wzoru. Chodzi o takie $x$ , dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

$f(x)=3x-12$

$3x-12=0$

$x=4$

Wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(4,0)$ .

02WYJAŚNIENIE

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Jeśli znasz dwa punkty wykresu funkcji liniowej, możesz obliczyć współczynnik kierunkowy, a potem cały wzór funkcji.

Prosta przez dwa punkty z zaznaczoną zmianą x i y.

Dane są punkty $(1,3)$ i $(4,9)$ . Różnica argumentów to $4-1=3$ , a wartości $9-3=6$ , stąd nachylenie $6/3=2$ .

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$a=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2$

$f(x)=2x+b$

$3=2\cdot1+b,\quad b=1$

$f(x)=2x+1$

03WYJAŚNIENIE

Wierzchołek daje minimum albo maksimum

Dla funkcji zapisanej w pierwszym kroku wyznaczymy najmniejszą wartość i argument, dla którego jest osiągana. W postaci kanonicznej obie informacje odczytujemy z wierzchołka.

$f(x)=(x-3)^2-4$

$W=(3,-4)$

Ramiona są skierowane w górę, więc najmniejsza wartość to $-4$ dla $x=3$ .

Wskazówka

Jeśli wzór jest już w postaci kanonicznej, nie zaczynaj od delty.

04WYJAŚNIENIE

Znak funkcji z miejsc zerowych

Dla funkcji $f(x)=(x-2)(x-6)$ wyznacz przedział, w którym wartości są ujemne. Miejsca zerowe i kierunek ramion paraboli pokazują znak funkcji.

Parabola skierowana w górę z ujemnymi wartościami między miejscami zerowymi.

$f(x)=(x-2)(x-6)$

$x_1=2,\quad x_2=6$

Ramiona są w górę, więc wartości ujemne są między zerami.

$2<x<6$

05WYJAŚNIENIE

Ciąg arytmetyczny: wyraz czy suma?

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest równy cztery, a różnica wynosi trzy. Obliczymy dziesiąty wyraz oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów, używając dwóch różnych wzorów.

$a_n=a_1+(n-1)r$

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

$a_{10}=4+(10-1)\cdot3=31$

$S_{10}=\frac{10(4+31)}{2}=175$

Wskazówka

Nie myl $a_n$ z $S_n$ . To dwie różne wielkości.

06WYJAŚNIENIE

Rozpoznanie ciągu z danych

Stały przyrost oznacza zwykle ciąg arytmetyczny, a stały iloraz ciąg geometryczny. Stała różnica lub iloraz muszą dotyczyć wszystkich kolejnych wyrazów rozważanego ciągu. Podane cztery wyrazy tworzą ciąg geometryczny skończony; same nie przesądzają o dalszych wyrazach nieskończonego ciągu.

Stała różnica $\to$ ciąg arytmetyczny.

Stały iloraz $\to$ ciąg geometryczny.

$200,300,450,675$

$\frac{300}{200}=\frac{450}{300}=\frac{675}{450}=\frac{3}{2}$

07WYJAŚNIENIE

Funkcja opisująca sytuację z życia

Wypożyczenie sprzętu kosztuje osiem złotych opłaty stałej oraz cztery złote za każdą godzinę. Zapiszemy funkcję kosztu i obliczymy należność za pięć godzin.

Opłata stała: $8$ zł.

Koszt za godzinę: $4t$ .

$K(t)=4t+8$

$K(5)=4\cdot5+8=28$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe funkcji $f(x)=2x-10$ wynosi:

$2$

$5$

$10$

$-5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

Rozwiązujemy $2x-10=0$ , więc $x=5$ .

PYTANIE 02

Piąty wyraz ciągu

W ciągu arytmetycznym $a_1=7$ , $r=4$ . Piąty wyraz wynosi:

$19$

$21$

$23$

$27$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$23$

$a_5=7+(5-1)\cdot4=23$ .

PYTANIE 03

Typ ciągu

Ciąg ma pierwszy wyraz $3$ , a każdy następny otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez $2$ . Jakim ciągiem jest $3,6,12,24,\ldots$ ?

arytmetyczny o różnicy $3$

geometryczny o ilorazie $2$

arytmetyczny o różnicy $6$

geometryczny o ilorazie $3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

geometryczny o ilorazie $2$

Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez $2$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W zadaniach przekrojowych z funkcji i ciągów najpierw ustal, jaki obiekt opisuje zadanie: funkcję, wykres, pojedynczy wyraz ciągu czy sumę.

Zapamiętaj

Miejsce zerowe oznacza równanie $f(x)=0$ .

Dwa punkty pozwalają wyznaczyć funkcję liniową.

Wierzchołek paraboli daje minimum albo maksimum.

Stała różnica oznacza ciąg arytmetyczny, stały iloraz geometryczny.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Miejsce zerowe to równanie f(x)=0f(x)=0f(x)=0

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Wierzchołek daje minimum albo maksimum

Znak funkcji z miejsc zerowych

Ciąg arytmetyczny: wyraz czy suma?

Rozpoznanie ciągu z danych

Funkcja opisująca sytuację z życia

Teraz Twoja kolej

Miejsce zerowe

Piąty wyraz ciągu

Typ ciągu

Podsumowanie

Miejsce zerowe to równanie $f(x)=0$