Zadania przekrojowe: liczby i algebra - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W zadaniu przekrojowym najtrudniejsze często nie jest samo liczenie, tylko rozpoznanie, z którego narzędzia skorzystać najpierw. Przećwiczysz zadania łączące liczby, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności.

Na start

Najpierw ustal, czego szuka zadanie.

Potem wybierz potrzebne działanie albo równanie.

Rozbij problem na małe, znane kroki.

Po tej lekcji:

rozpoznasz, które narzędzie rachunkowe pasuje do zadania
połączysz procenty, potęgi, równania i nierówności
sprawdzisz wynik z warunkami zadania

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw uprość, potem licz

Obliczymy wartość wyrażenia zapisanego w pierwszym kroku. Najpierw osobno upraszczamy potęgi i pierwiastek, a dopiero potem wykonujemy mnożenie i dzielenie.

$\frac{2^5\cdot\sqrt{36}}{4^2}$

$2^5=32,\quad \sqrt{36}=6,\quad 4^2=16$

$\frac{32\cdot6}{16}=2\cdot6=12$

Wskazówka

Nie licz wszystkiego w jednym wierszu. Etapy zmniejszają ryzyko błędu.

02WYJAŚNIENIE

Procent zamieniony na równanie

Po obniżce o dwadzieścia procent produkt kosztuje dwieście czterdzieści złotych. Trzeba obliczyć cenę początkową, pamiętając, że procent był liczony właśnie od niej.

Po obniżce o $20\%$ zostaje $80\%$ ceny początkowej.

$0{,}8x=240$

$x=300$

Nie dodajemy po prostu $20\%$ do $240$ , bo procent był liczony od ceny początkowej.

Wskazówka

Obniżka o $20\%$ , a potem podwyżka o $20\%$ nie przywracają tej samej ceny.

03WYJAŚNIENIE

Wartość bezwzględna daje dwa przypadki

Rozwiąż równanie $|2x-3|=5$ . Równanie z wartością bezwzględną często rozdziela się na dwa zwykłe równania.

Oś liczbowa pokazująca dwa punkty w odległości 5 od zera.

Rozbicie $|A|=b$ na $A=b$ lub $A=-b$ działa dla $b\ge0$ . Dla $b=0$ oba zapisy dają ten sam przypadek, a dla $b<0$ równanie nie ma rozwiązań.

$|A|=b$

$A=b\quad\text{lub}\quad A=-b$

$|2x-3|=5$

$2x-3=5\quad\text{lub}\quad 2x-3=-5$

$x=4\quad\text{lub}\quad x=-1$

04WYJAŚNIENIE

Najpierw warunki, potem równanie

Rozwiążemy równanie z ułamkiem algebraicznym zapisane w pierwszym kroku. Zanim usuniemy mianownik, ustalamy, dla jakiej wartości byłby on równy zeru.

$\frac{x+3}{x-2}=2$

$x-2\ne0,\quad x\ne2$

$x+3=2(x-2)$

$x=7$

Wynik $7$ spełnia warunek $x\ne2$ .

Wskazówka

Nie pomijaj warunku mianownika. Rachunkowy wynik może być niedozwolony.

05WYJAŚNIENIE

Równanie kwadratowe ukryte w treści

Prostokąt ma pole czterdzieści osiem centymetrów kwadratowych, a dłuższy bok jest o dwa centymetry dłuższy od krótszego. Trzeba obliczyć długości boków, więc zapis prowadzi do równania kwadratowego.

Krótszy bok prostokąta: $x$ , dłuższy: $x+2$ .

$x(x+2)=48$

$x^2+2x-48=0$

$(x+8)(x-6)=0$

$x=-8\quad\text{lub}\quad x=6$

Długość nie może być ujemna, więc boki mają $6 \text{cm}$ i $8 \text{cm}$ .

06WYJAŚNIENIE

Nierówność i zapis przedziału

Rozwiążemy nierówność zapisaną w pierwszym kroku. Wynikiem nie jest jedna liczba, lecz cały zakres wartości, który na końcu zapisujemy także jako przedział.

$3x-5\le10$

$3x\le15$

$x\le5$

$(-\infty,5]$

Wskazówka

Znak nierówności zmienia kierunek tylko przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną.

07WYJAŚNIENIE

Zadanie łączące procent i równanie

Pewną liczbę zwiększono o dwadzieścia pięć procent, a potem od otrzymanego wyniku odjęto dziesięć. Wynik końcowy to czterdzieści. Obliczymy liczbę początkową, zachowując kolejność operacji z treści.

Zwiększenie o $25\%$ oznacza mnożnik $1{,}25$ .

$1{,}25x-10=40$

$1{,}25x=50$

$x=40$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wartość bezwzględna

Rozwiązaniem równania $|x-2|=7$ jest:

tylko $x=9$

$x=9$ lub $x=-5$

$x=5$ lub $x=-9$

tylko $x=-5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=9$ lub $x=-5$

$x-2=7$ daje $x=9$ , a $x-2=-7$ daje $x=-5$ .

PYTANIE 02

Cena przed obniżką

Po obniżce o $25\%$ cena wynosi $150$ zł. Cena przed obniżką wynosiła:

$175$ zł

$187{,}50$ zł

$200$ zł

$225$ zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$200$ zł

Po obniżce zostaje $75\%$ ceny, więc $0{,}75x=150$ , stąd $x=200$ .

PYTANIE 03

Warunek mianownika

Dla jakiego $x$ wyrażenie $\frac{5}{x-4}$ nie jest określone?

$x=-4$

$x=0$

$x=4$

$x=5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x=4$

Mianownik nie może być zerem, więc $x-4\ne0$ , czyli niedozwolone jest $x=4$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W zadaniach przekrojowych z liczb i algebry najpierw rozpoznaj strukturę zadania, a dopiero potem dobieraj narzędzie.

Zapamiętaj

Upraszczaj wyrażenia etapami.

Procent zamieniaj na mnożnik albo równanie.

Przy ułamkach algebraicznych sprawdzaj mianownik.

Wynik równania zawsze porównuj z warunkami zadania.