Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się skracać wyrażenia wymierne tak, żeby nie skracać tego, czego skracać nie wolno. Będziesz rozkładać licznik i mianownik na czynniki, skracać wspólny czynnik oraz rozszerzać ułamek do potrzebnego mianownika.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz czynnik od składnika.

Potem przećwiczysz skracanie po rozłożeniu na czynniki.

Na końcu użyjesz rozszerzania, żeby otrzymać wskazany mianownik.

Na start

Skracać wolno tylko wspólne czynniki.

Nie wolno skracać pojedynczych składników sumy.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć skracać i rozszerzać wyrażenia wymierne przez mnożenie lub dzielenie licznika i mianownika przez ten sam niezerowy czynnik.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Skracanie działa na czynnikach

W zwykłych ułamkach skracasz wspólny czynnik licznika i mianownika. W wyrażeniach wymiernych zasada jest ta sama, tylko czynniki mogą zawierać litery.

Pokazać, że skracanie polega na usunięciu tego samego czynnika z licznika i mianownika.

$\frac{6x}{9x}=\frac{2\cdot 3\cdot x}{3\cdot 3\cdot x}=\frac{2}{3}$

$x\neq 0$

Przykład

Skróć wyrażenie $\frac{6x}{9x}$ .

Rozwiązanie

Rozkładamy licznik: $6x=2\cdot 3\cdot x$ . Rozkładamy mianownik: $9x=3\cdot 3\cdot x$ . Skracamy wspólny czynnik $3$ oraz wspólny czynnik $x$ . Zostaje $\frac{2}{3}$ . Pamiętamy o warunku z pierwotnego mianownika: $x\neq 0$ . Uproszczony zapis to $\frac{2}{3}$ , ale pierwotne wyrażenie nie miało sensu dla $x=0$ .

02WYJAŚNIENIE

Nie skracaj składników sumy

Najczęstszy błąd polega na skracaniu litery, która jest tylko częścią sumy. Jeśli w liczniku masz $x+2$ , to $x$ nie jest osobnym czynnikiem całego licznika.

$\frac{x+2}{x} \neq 1+2$

$\frac{x+2}{x} \neq 2$

Przykład

Czy można skrócić $x$ w wyrażeniu $\frac{x+2}{x}$ ?

Rozwiązanie

Licznik ma postać sumy: $x+2$ . Mianownik ma postać czynnika: $x$ . Skracanie wymaga wspólnego czynnika całego licznika i całego mianownika. $x$ nie jest czynnikiem całego licznika $x+2$ . Nie można skrócić tego wyrażenia przez $x$ . Ułamek $\frac{x+2}{x}$ można przepisać jako $\frac{x}{x}+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{x}$ , ale nie jako $2$ .

Wskazówka

Skracać wolno w mnożeniu, nie w dodawaniu. Najpierw pytaj: „czy to jest czynnik całego licznika?”.

03WYJAŚNIENIE

Najpierw rozłóż, potem skracaj

Wspólny czynnik często nie jest widoczny od razu. Trzeba rozłożyć licznik lub mianownik na czynniki, a dopiero potem skracać.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Przykład

Skróć wyrażenie $\frac{x^2-4}{x-2}$ .

Rozwiązanie

Najpierw zapisujemy warunek z mianownika: $x-2\neq 0$ , więc $x\neq 2$ . Rozkładamy licznik: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Otrzymujemy $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ . Skracamy wspólny czynnik $x-2$ . Zostaje $x+2$ , przy warunku $x\neq 2$ . Skrócenie jest poprawne, bo $x-2$ było całym czynnikiem licznika i całym mianownikiem.

Zapamiętaj

Rozkład na czynniki odsłania, co można skrócić.

Warunek z mianownika zapisuj przed skróceniem.

04WYJAŚNIENIE

Wyłączanie wspólnego czynnika

Czasem wspólny czynnik trzeba najpierw wyłączyć przed nawias. To szczególnie częste przy liczniku lub mianowniku z kilkoma składnikami.

$3x+6=3(x+2)$

Przykład

Skróć wyrażenie $\frac{3x+6}{6}$ .

Rozwiązanie

W liczniku wyłączamy $3$ przed nawias: $3x+6=3(x+2)$ . Mianownik zapisujemy jako $6=3\cdot 2$ . Otrzymujemy $\frac{3(x+2)}{3\cdot 2}$ . Skracamy wspólny czynnik $3$ . Zostaje $\frac{x+2}{2}$ . Nie skracaliśmy samego $x$ ani samej $6$ z sumy. Najpierw zamieniliśmy licznik na iloczyn.

Wskazówka

Delta radzi: jeśli widzisz sumę, najpierw sprawdź, czy da się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

05WYJAŚNIENIE

Rozszerzanie wyrażenia wymiernego

Rozszerzanie to odwrotność skracania. Mnożysz licznik i mianownik przez ten sam niezerowy czynnik. Wartość ułamka się nie zmienia, ale zmienia się jego postać.

Pokazać, że przy rozszerzaniu ten sam czynnik trafia do licznika i mianownika.

$\frac{x+1}{x}$

$=$

$\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-2)}$

$x\neq 0,\ x\neq 2$

Przykład

Rozszerz wyrażenie $\frac{x+1}{x}$ przez czynnik $x-2$ .

Rozwiązanie

Mnożymy licznik przez $x-2$ : $(x+1)(x-2)$ . Mnożymy mianownik przez ten sam czynnik: $x(x-2)$ . Otrzymujemy $\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-2)}$ . Czynnik, przez który rozszerzamy, nie może być zerem, więc $x-2\neq 0$ , czyli $x\neq 2$ . Z pierwotnego mianownika mamy też $x\neq 0$ . Rozszerzenie zachowuje wartość ułamka tylko wtedy, gdy mnożymy przez wyrażenie różne od zera.

06WYJAŚNIENIE

Skracanie z przeciwnymi czynnikami

Czynniki $x-3$ i $3-x$ nie są takie same, ale są przeciwne. Można wykorzystać zależność $3-x=-(x-3)$ .

$3-x=-(x-3)$

Przykład

Skróć wyrażenie $\frac{x-3}{3-x}$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy mianownik jako przeciwny czynnik: $3-x=-(x-3)$ . Otrzymujemy $\frac{x-3}{-(x-3)}$ . Skracamy wspólny czynnik $x-3$ , przy warunku $x\neq 3$ . Zostaje $-1$ . Wynik to $-1$ , bo licznik i mianownik są liczbami przeciwnymi.

Wskazówka

Nie skracaj $\frac{x-3}{3-x}$ do $1$ . Te czynniki różnią się znakiem, więc wynik po skróceniu to $-1$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wyrażenie $\frac{10x}{15x}$ , przy $x\neq 0$ , po skróceniu jest równe:

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{10}{15x}$

$5x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{2}{3}$

Skracamy wspólny czynnik $5x$ : $\frac{10x}{15x}=\frac{2}{3}$ .

PYTANIE 02

Wyrażenie $\frac{x^2-9}{x-3}$ , przy $x\neq 3$ , jest równe:

$x-3$

$x+3$

$x^2+3$

$1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x+3$

$x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Po skróceniu czynnika $x-3$ zostaje $x+3$ .

PYTANIE 03

Które skrócenie jest poprawne?

$\frac{x+5}{x}=5$

$\frac{3x+6}{3}=x+2$

$\frac{x+2}{2}=x$

$\frac{x-4}{x}= -4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{3x+6}{3}=x+2$

$\frac{3x+6}{3}=\frac{3(x+2)}{3}=x+2$ . W pozostałych odpowiedziach skracane są składniki sumy.

PYTANIE 04

Wyrażenie $\frac{x-5}{5-x}$ , przy $x\neq 5$ , jest równe:

$1$

$-1$

$x$

$0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-1$

$5-x=-(x-5)$ , więc $\frac{x-5}{5-x}=\frac{x-5}{-(x-5)}=-1$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać ze skracania i rozszerzania?

Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych działa tak jak przy zwykłych ułamkach: licznik i mianownik dzielisz albo mnożysz przez ten sam niezerowy czynnik. Skracać wolno tylko czynniki, a nie składniki sumy. Jeśli wspólny czynnik nie jest widoczny, najpierw rozłóż wyrażenie na czynniki. Przy skracaniu zawsze pamiętaj o warunkach z pierwotnego mianownika.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Skracanie działa na czynnikach

Nie skracaj składników sumy

Najpierw rozłóż, potem skracaj

Wyłączanie wspólnego czynnika

Rozszerzanie wyrażenia wymiernego

Skracanie z przeciwnymi czynnikami

Teraz Twoja kolej

Wyrażenie 10x15x\frac{10x}{15x}15x10x​, przy x≠0x\neq 0x=0, po skróceniu jest równe:

Wyrażenie x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}x−3x2−9​, przy x≠3x\neq 3x=3, jest równe:

Które skrócenie jest poprawne?

Wyrażenie x−55−x\frac{x-5}{5-x}5−xx−5​, przy x≠5x\neq 5x=5, jest równe:

Co zapamiętać ze skracania i rozszerzania?

Wyrażenie $\frac{10x}{15x}$ , przy $x\neq 0$ , po skróceniu jest równe:

Wyrażenie $\frac{x^2-9}{x-3}$ , przy $x\neq 3$ , jest równe:

Wyrażenie $\frac{x-5}{5-x}$ , przy $x\neq 5$ , jest równe: