Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne tak, żeby nie robić niepotrzebnie dużych rachunków. Najpierw będziesz rozkładać wyrażenia na czynniki, potem skracać, a dopiero na końcu mnożyć.

Plan tej lekcji

Najpierw powtórzysz mnożenie ułamków algebraicznych.

Potem przećwiczysz skracanie na krzyż.

Na końcu nauczysz się dzielenia przez wyrażenie wymierne jako mnożenia przez odwrotność.

Na start

Przy mnożeniu i dzieleniu skracamy czynniki, nie składniki.

Dzielenie przez ułamek zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć mnożyć i dzielić proste wyrażenia wymierne, skracając wspólne czynniki przed wykonaniem mnożenia.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik

Mnożenie wyrażeń wymiernych działa tak samo jak mnożenie zwykłych ułamków. Najważniejsze jest to, żeby przed mnożeniem sprawdzić, czy da się coś skrócić.

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$b\neq 0,\ d\neq 0$

Przykład

Pomnóż i uprość $\frac{2x}{3}\cdot\frac{9}{4x}$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy iloczyn liczników i mianowników: $\frac{2x\cdot 9}{3\cdot 4x}$ . Skracamy $x$ z licznika i mianownika, przy warunku $x\neq 0$ . Skracamy $9$ z $3$ , zostaje $3$ w liczniku. Skracamy $2$ z $4$ , zostaje $2$ w mianowniku. Wynik to $\frac{3}{2}$ . Skracanie przed mnożeniem zmniejsza rachunek i prowadzi do prostszego wyniku.

02WYJAŚNIENIE

Rozkład na czynniki przed mnożeniem

Jeśli w liczniku lub mianowniku jest suma, najpierw spróbuj rozłożyć ją na czynniki. Dopiero wtedy widać, co można skrócić.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Przykład

Uprość $\frac{x^2-4}{x}\cdot\frac{3x}{x+2}$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy warunki z mianowników: $x\neq 0$ oraz $x+2\neq 0$ , czyli $x\neq -2$ . Rozkładamy $x^2-4$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Mamy $\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot\frac{3x}{x+2}$ . Skracamy czynnik $x$ . Skracamy czynnik $x+2$ . Zostaje $3(x-2)$ . Wynik jest prosty, bo przed mnożeniem odsłoniliśmy wspólne czynniki.

03WYJAŚNIENIE

Dzielenie zamień na mnożenie przez odwrotność

Przy dzieleniu wyrażeń wymiernych pierwszy ułamek zostaje bez zmian, a drugi odwracasz. Dopiero potem mnożysz i skracasz. Już przed odwróceniem trzeba zapisać $x\ne0$ : dzielnik $\frac{x^2}{3}$ nie może być zerem. Ten warunek zachowujemy przy wyniku $\frac1{2x}$ .

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$

$=$

$\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$

$b\neq 0,\ c\neq 0,\ d\neq 0$

Przykład

Uprość $\frac{x}{6}:\frac{x^2}{3}$ .

Rozwiązanie

Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność: $\frac{x}{6}\cdot\frac{3}{x^2}$ . Zapisujemy iloczyn: $\frac{3x}{6x^2}$ . Skracamy $3$ z $6$ , zostaje $2$ w mianowniku. Skracamy $x$ z $x^2$ , zostaje $x$ w mianowniku. Wynik to $\frac{1}{2x}$ . Dzielenie przez $\frac{x^2}{3}$ oznacza mnożenie przez $\frac{3}{x^2}$ , dlatego drugi ułamek trzeba odwrócić.

Wskazówka

Nie odwracaj obu ułamków. Przy dzieleniu odwracasz tylko drugi ułamek.

04WYJAŚNIENIE

Warunki przy dzieleniu są szersze

Przy dzieleniu musisz pamiętać nie tylko o mianownikach, ale też o tym, że nie wolno dzielić przez zero. Drugi ułamek jako całość nie może być równy zero.

Przykład

Podaj warunki dla wyrażenia $\frac{x+1}{x-2}:\frac{x}{x+3}$ .

Rozwiązanie

Pierwszy mianownik nie może być zerem: $x-2\neq 0$ , więc $x\neq 2$ . Drugi mianownik nie może być zerem: $x+3\neq 0$ , więc $x\neq -3$ . Drugi ułamek nie może być równy zero, bo przez niego dzielimy. Ułamek $\frac{x}{x+3}$ jest równy zero, gdy jego licznik $x=0$ . Warunki: $x\neq 2$ , $x\neq -3$ , $x\neq 0$ . Przy dzieleniu przez wyrażenie wymierne sprawdzasz mianownik drugiego ułamka i jego licznik.

Zapamiętaj

Przy mnożeniu wykluczasz zera mianowników.

Przy dzieleniu dodatkowo wykluczasz wartości, dla których drugi ułamek jest równy zero.

05WYJAŚNIENIE

Dzielenie z rozkładem na czynniki

W dłuższych przykładach trzymaj stałą kolejność: warunki, odwrócenie drugiego ułamka, rozkład na czynniki, skracanie.

Przykład

Uprość $\frac{x^2-9}{x}:\frac{x+3}{2x}$ .

Rozwiązanie

Z mianowników mamy warunki: $x\neq 0$ oraz $2x\neq 0$ , więc $x\neq 0$ . Drugi ułamek nie może być zerem, więc $x+3\neq 0$ , czyli $x\neq -3$ . Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność: $\frac{x^2-9}{x}\cdot\frac{2x}{x+3}$ . Rozkładamy $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Mamy $\frac{(x-3)(x+3)}{x}\cdot\frac{2x}{x+3}$ . Skracamy $x$ oraz $x+3$ . Zostaje $2(x-3)$ . Wynik uproszczony to $2(x-3)$ , ale warunki z działania to $x\neq 0$ i $x\neq -3$ .

Wskazówka

Delta radzi: przy dzieleniu zawsze zapisz po drodze znak mnożenia i odwrócony drugi ułamek. To zmniejsza ryzyko odwrócenia złej części.

06WYJAŚNIENIE

Nie mnoż bez potrzeby dużych nawiasów

W wyrażeniach wymiernych często lepiej zostawić wynik w postaci iloczynu niż rozwijać nawiasy. Postać czynnikowa pokazuje warunki i ułatwia dalsze skracanie.

$3(x-2) \quad \text{jest zwykle wygodniejsze niż} \quad 3x-6$

Przykład

Uprość $\frac{x-2}{5}\cdot\frac{10}{x+1}$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy warunki: $x+1\neq 0$ , czyli $x\neq -1$ . Skracamy $10$ z $5$ , zostaje $2$ w liczniku. Otrzymujemy $\frac{2(x-2)}{x+1}$ . Nie rozwijamy licznika, bo postać $2(x-2)$ jest czytelna. Wynik $\frac{2(x-2)}{x+1}$ jasno pokazuje, że nie ma już wspólnych czynników do skrócenia.

Wskazówka

Nie rozwijaj nawiasów automatycznie. W działaniach na wyrażeniach wymiernych postać czynnikowa zwykle jest bardziej użyteczna.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wyrażenie $\frac{3x}{4}\cdot\frac{8}{9x}$ , przy $x\neq 0$ , jest równe:

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

$6x$

$\frac{x}{6}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{2}{3}$

Skracamy $x$ , $8$ z $4$ oraz $3$ z $9$ . Zostaje $\frac{2}{3}$ .

PYTANIE 02

Dzielenie $\frac{x}{5}:\frac{2}{3}$ zapisane jako mnożenie to:

$\frac{x}{5}\cdot\frac{2}{3}$

$\frac{5}{x}\cdot\frac{3}{2}$

$\frac{x}{5}\cdot\frac{3}{2}$

$\frac{5}{x}\cdot\frac{2}{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\frac{x}{5}\cdot\frac{3}{2}$

Przy dzieleniu odwracamy tylko drugi ułamek, więc $\frac{x}{5}:\frac{2}{3}=\frac{x}{5}\cdot\frac{3}{2}$ .

PYTANIE 03

Wyrażenie $\frac{x^2-1}{x+1}\cdot\frac{2}{x-1}$ , przy odpowiednich warunkach, jest równe:

$2$

$2x$

$x+1$

$\frac{2}{x+1}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$2$

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Po skróceniu $x+1$ oraz $x-1$ zostaje $2$ .

PYTANIE 04

W wyrażeniu $\frac{x+2}{x-1}:\frac{x}{x+3}$ trzeba dodatkowo wykluczyć wartość $x=0$ , ponieważ:

zeruje pierwszy mianownik

zeruje drugi mianownik

sprawia, że drugi ułamek jest równy zero

sprawia, że pierwszy ułamek jest równy zero

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

sprawia, że drugi ułamek jest równy zero

Przy dzieleniu drugi ułamek nie może być zerem. Ułamek $\frac{x}{x+3}$ jest zerem dla $x=0$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z mnożenia i dzielenia?

Przy mnożeniu wyrażeń wymiernych mnożysz licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, ale wcześniej warto rozłożyć wyrażenia na czynniki i skrócić wspólne czynniki. Przy dzieleniu pierwszy ułamek zostaje bez zmian, a drugi odwracasz. Warunki przy dzieleniu obejmują mianowniki oraz to, że drugi ułamek nie może być równy zero. Postać czynnikowa zwykle jest lepsza niż rozwinięte nawiasy.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik

Rozkład na czynniki przed mnożeniem

Dzielenie zamień na mnożenie przez odwrotność

Warunki przy dzieleniu są szersze

Dzielenie z rozkładem na czynniki

Nie mnoż bez potrzeby dużych nawiasów

Teraz Twoja kolej

Wyrażenie 3x4⋅89x\frac{3x}{4}\cdot\frac{8}{9x}43x​⋅9x8​, przy x≠0x\neq 0x=0, jest równe:

Dzielenie x5:23\frac{x}{5}:\frac{2}{3}5x​:32​ zapisane jako mnożenie to:

Wyrażenie x2−1x+1⋅2x−1\frac{x^2-1}{x+1}\cdot\frac{2}{x-1}x+1x2−1​⋅x−12​, przy odpowiednich warunkach, jest równe:

W wyrażeniu x+2x−1:xx+3\frac{x+2}{x-1}:\frac{x}{x+3}x−1x+2​:x+3x​ trzeba dodatkowo wykluczyć wartość x=0x=0x=0, ponieważ:

Co zapamiętać z mnożenia i dzielenia?

Wyrażenie $\frac{3x}{4}\cdot\frac{8}{9x}$ , przy $x\neq 0$ , jest równe:

Dzielenie $\frac{x}{5}:\frac{2}{3}$ zapisane jako mnożenie to:

Wyrażenie $\frac{x^2-1}{x+1}\cdot\frac{2}{x-1}$ , przy odpowiednich warunkach, jest równe:

W wyrażeniu $\frac{x+2}{x-1}:\frac{x}{x+3}$ trzeba dodatkowo wykluczyć wartość $x=0$ , ponieważ: