Dziedzina wyrażenia wymiernego

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się wyznaczać dziedzinę wyrażenia wymiernego. Będziesz sprawdzać mianownik, znajdować wartości zakazane i zapisywać, dla jakich liczb wyrażenie ma sens.

Plan tej lekcji

Najpierw przypomnisz sobie, dlaczego nie wolno dzielić przez zero.

Potem nauczysz się znajdować wartości zerujące mianownik.

Na końcu przećwiczysz dziedzinę po skróceniu wyrażenia, gdzie łatwo zgubić wartość zakazaną.

Na start

W wyrażeniu wymiernym najważniejszy dla dziedziny jest mianownik.

Mianownik nie może być równy zero.

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć wyznaczać dziedzinę prostych wyrażeń wymiernych przez sprawdzanie, kiedy mianownik jest różny od zera.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dlaczego mianownik nie może być zerem?

Wyrażenie wymierne jest ilorazem dwóch wielomianów. Jego dziedzina to zbiór liczb, które można podstawić za zmienną bez dzielenia przez zero. Na przykład w $\frac{x+1}{x-2}$ wykluczamy $x=2$ , bo wtedy mianownik znika.

Pokazać, że dziedzina wyrażenia wymiernego zależy od mianownika, a nie od całego ułamka naraz.

$\frac{5}{0} \quad \text{nie ma sensu}$

$\frac{x+1}{x-2} \quad \text{ma sens tylko wtedy, gdy} \quad x-2\neq 0$

Przykład

Sprawdź, czy wyrażenie $\frac{x+1}{x-2}$ ma sens dla $x=2$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=2$ do mianownika. Mianownik ma wartość $2-2=0$ . Otrzymalibyśmy dzielenie przez zero. Dlatego dla $x=2$ wyrażenie nie ma sensu. Liczba $2$ jest wartością zakazaną, bo zeruje mianownik.

02WYJAŚNIENIE

Dziedzina przy mianowniku liniowym

Wyznaczamy, dla jakiej liczby mianownik jest równy zero, i wykluczamy tę liczbę. W zapisie $x-4\ne0$ symbol $\ne$ oznacza „nie jest równe”.

$\frac{2x+5}{x-4}$

$x-4\neq 0$

$x\neq 4$

Przykład

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{2x+5}{x-4}$ .

Rozwiązanie

Patrzymy na mianownik: $x-4$ . Zapisujemy warunek: $x-4\neq 0$ . Przenosimy $-4$ na drugą stronę: $x\neq 4$ . Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $4$ : $\mathbb{R}\setminus\{4\}$ . Symbol $\mathbb{R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych. Zapis $\mathbb{R}\setminus\{4\}$ oznacza: każda liczba rzeczywista, ale nie $4$ .

Zapamiętaj

Przy dziedzinie wyrażenia wymiernego rozwiązujesz warunek z mianownika.

Licznik nie zakazuje wartości zmiennej.

03WYJAŚNIENIE

Kilka czynników w mianowniku

Jeśli mianownik jest iloczynem, cały mianownik jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy zero. Dlatego każdy czynnik trzeba sprawdzić osobno.

x ≠ 0 i x ≠ 3. Zaznaczenie biegnie ukośnie od punktu granicznego, następnie nad osią; delikatne kreskowanie wskazuje zbiór liczb.

$x(x-3)\neq 0$

$x\neq 0 \quad \text{i} \quad x-3\neq 0$

$x\neq 0,\ x\neq 3$

Przykład

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{x+2}{x(x-3)}$ .

Rozwiązanie

Patrzymy na mianownik: $x(x-3)$ . Iloczyn nie może być zerem, więc żaden czynnik nie może być zerem. Pierwszy czynnik daje warunek $x\neq 0$ . Drugi czynnik daje $x-3\neq 0$ , czyli $x\neq 3$ . Dziedzina to $\mathbb{R}\setminus\{0,3\}$ . Zmienna nie może przyjąć dwóch wartości: $0$ i $3$ , bo każda z nich zeruje inny czynnik mianownika.

04WYJAŚNIENIE

Mianownik kwadratowy warto rozłożyć

Gdy mianownik jest wielomianem kwadratowym, często najłatwiej rozłożyć go na czynniki. Wtedy od razu widać wartości, które zerują mianownik.

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

Przykład

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{x}{x^2-9}$ .

Rozwiązanie

Patrzymy na mianownik: $x^2-9$ . Rozpoznajemy różnicę kwadratów: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Mianownik nie może być zerem, więc $x-3\neq 0$ oraz $x+3\neq 0$ . Dostajemy $x\neq 3$ oraz $x\neq -3$ . Dziedzina to $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ . Obie liczby, $-3$ i $3$ , po podstawieniu do mianownika dają zero.

Wskazówka

Delta radzi: przy wyrażeniach typu $x^2-a^2$ od razu użyj wzoru $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ .

05WYJAŚNIENIE

Nie każdy mianownik daje zakazane liczby

Czasem mianownik nigdy nie jest równy zero. Tak dzieje się na przykład z $x^2+1$ , bo kwadrat liczby jest zawsze nieujemny, a po dodaniu $1$ dostajemy liczbę dodatnią.

$x^2\geq 0$

$x^2+1\geq 1$

$x^2+1\neq 0$

Przykład

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{3x}{x^2+1}$ .

Rozwiązanie

Patrzymy na mianownik: $x^2+1$ . Dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi $x^2\geq 0$ . Dlatego $x^2+1\geq 1$ . Mianownik nigdy nie jest zerem. Dziedzina to $\mathbb{R}$ . Tutaj nie trzeba wykluczać żadnej liczby, bo mianownik zawsze jest dodatni.

Wskazówka

Nie zakładaj automatycznie, że każdy mianownik kwadratowy ma dwa miejsca zerowe. Wyrażenie $x^2+1$ nie zeruje się dla żadnej liczby rzeczywistej.

06WYJAŚNIENIE

Skrócenie nie usuwa wartości zakazanej z dziedziny

Jeśli wyrażenie da się skrócić, dziedzinę i tak wyznaczasz z pierwotnego mianownika. Wartość zakazana nie wraca tylko dlatego, że po skróceniu nie widać już problemu.

$\frac{x^2-4}{x-2}$

$=$

$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

$=$

$x+2$

$\text{ale} \qquad x\neq 2$

Przykład

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{x^2-4}{x-2}$ , a potem je uprość.

Dziedzina wyrażenia wymiernego to wszystkie liczby rzeczywiste, dla których mianownik nie jest równy zero. Zawsze zaczynaj od warunku na mianownik, a dopiero potem upraszczaj wyrażenie. Jeśli mianownik jest iloczynem, każdy czynnik sprawdzasz osobno. Jeśli wyrażenie się skraca, wartości zakazane z pierwotnego mianownika nadal zostają wykluczone.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Dlaczego mianownik nie może być zerem?

Dziedzina przy mianowniku liniowym

Kilka czynników w mianowniku

Mianownik kwadratowy warto rozłożyć

Nie każdy mianownik daje zakazane liczby

Skrócenie nie usuwa wartości zakazanej z dziedziny

Teraz Twoja kolej

Dziedziną wyrażenia 5x+7\frac{5}{x+7}x+75​ jest:

Które liczby trzeba wykluczyć z dziedziny wyrażenia x−1x(x+4)\frac{x-1}{x(x+4)}x(x+4)x−1​?

Dziedziną wyrażenia 2xx2−16\frac{2x}{x^2-16}x2−162x​ jest:

Dziedziną wyrażenia x+3x2+4\frac{x+3}{x^2+4}x2+4x+3​ jest:

Co zapamiętać z dziedziny?

Dziedziną wyrażenia $\frac{5}{x+7}$ jest:

Które liczby trzeba wykluczyć z dziedziny wyrażenia $\frac{x-1}{x(x+4)}$ ?

Dziedziną wyrażenia $\frac{2x}{x^2-16}$ jest:

Dziedziną wyrażenia $\frac{x+3}{x^2+4}$ jest: