Nauczysz się trzech wzorów, które zastępują dłuższe mnożenie nawiasów. Zobaczysz, skąd bierze się środkowy składnik, kiedy pojawia się minus i dlaczego różnica kwadratów nie ma wyrazu środkowego.
Na start
Kwadrat sumy ma składnik środkowy.
Kwadrat różnicy też ma składnik środkowy, ale z minusem.
Różnica kwadratów skraca składniki środkowe.
Po tej lekcji:
rozwiniesz kwadrat sumy i kwadrat różnicy
zastosujesz różnicę kwadratów
dobierzesz właściwy wzór do wyrażenia
ZROZUM TEMAT
Wyjaśnienie krok po kroku
Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.
01WYJAŚNIENIE
Kwadrat sumy
Kwadrat sumy oznacza pomnożenie nawiasu przez taki sam nawias. Składnik środkowy pojawia się, bo dostajesz dwa iloczyny ab.
Kwadrat o boku a plus b podzielony na pola a kwadrat, dwa ab i b kwadrat.
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
Rozwinięcie kwadratu sumy
Rozwiń (x+4)2.
Rozwiązanie
Tu a=x i b=4. Mamy x2+2⋅x⋅4+42=x2+8x+16.
Wskazówka
(a+b)2=a2+b2. Brakuje wtedy składnika 2ab.
02WYJAŚNIENIE
Kwadrat różnicy
Kwadrat różnicy ma podobny układ jak kwadrat sumy, ale składnik środkowy jest ujemny. Ostatni składnik pozostaje dodatni, bo jest kwadratem.
(a−b)2=a2−2ab+b2
Minus tylko w środku
Rozwiń (x−5)2.
Rozwiązanie
Tu a=x, b=5. Wynik: x2−2⋅x⋅5+52=x2−10x+25.
Wskazówka
W (x−5)2 ostatni składnik to +25, nie −25.
03WYJAŚNIENIE
Różnica kwadratów
W iloczynie (a−b)(a+b) składniki środkowe redukują się: +ab i −ab dają zero.
(a−b)(a+b)=a2−b2
Nawiasy z przeciwnymi znakami
Rozwiń (x−7)(x+7).
Rozwiązanie
(x−7)(x+7)=x2−72=x2−49. Nie ma składnika z x, bo składniki środkowe się redukują.
Zapamiętaj
Różnica kwadratów wymaga tych samych składników i przeciwnych znaków.
04WYJAŚNIENIE
Liczby i współczynniki
We wzorach składniki mogą być liczbami albo całymi wyrażeniami. Jeśli masz (2x+3)2, to pierwszym składnikiem jest całe 2x.
Składnik ze współczynnikiem
Rozwiń (2x+3)2.
Rozwiązanie
Tu a=2x, b=3. Wynik: (2x)2+2⋅2x⋅3+32=4x2+12x+9.
Wskazówka
(2x)2=4x2, nie 2x2.
05WYJAŚNIENIE
Jak rozpoznać właściwy wzór?
Najpierw patrz na kształt wyrażenia. Kwadrat jednego nawiasu daje kwadrat sumy albo różnicy. Dwa nawiasy z tymi samymi składnikami i przeciwnymi znakami dają różnicę kwadratów.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a−b)(a+b)=a2−b2
Dobór wzoru
Rozwiń (3x−2)(3x+2).
Rozwiązanie
To różnica kwadratów, bo składniki są te same, a znaki przeciwne. (3x−2)(3x+2)=(3x)2−22=9x2−4.
SPRAWDŹ SIĘ
Teraz Twoja kolej
Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.
PYTANIE 01
(x+6)2 jest równe:
A
x2+36
B
x2+6x+36
C
x2+12x+36
D
x2+12x+6
Sprawdź odpowiedź ↓
Poprawna odpowiedź: C
x2+12x+36
(x+6)2=x2+2⋅x⋅6+62=x2+12x+36.
PYTANIE 02
(x−4)2 jest równe:
A
x2−8x+16
B
x2−16
C
x2+8x+16
D
x2−8x−16
Sprawdź odpowiedź ↓
Poprawna odpowiedź: A
x2−8x+16
(x−4)2=x2−2⋅x⋅4+42=x2−8x+16.
PYTANIE 03
(x−9)(x+9) jest równe:
A
x2+81
B
x2−18x+81
C
x2−81
D
x2+18x−81
Sprawdź odpowiedź ↓
Poprawna odpowiedź: C
x2−81
(x−9)(x+9)=x2−92=x2−81.
PYTANIE 04
(2x−5)2 jest równe:
A
4x2−20x+25
B
2x2−20x+25
C
4x2−10x+25
D
4x2−25
Sprawdź odpowiedź ↓
Poprawna odpowiedź: A
4x2−20x+25
(2x−5)2=(2x)2−2⋅2x⋅5+52=4x2−20x+25.
NA KONIEC
Najkrótsze podsumowanie metod
Wzory skróconego mnożenia są skrótem zwykłego mnożenia nawiasów. W kwadracie sumy i różnicy zawsze pilnuj składnika środkowego. W różnicy kwadratów sprawdź, czy nawiasy mają te same składniki i przeciwne znaki.
