Rozkład na czynniki z użyciem wzorów skróconego mnożenia

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Użyjesz wzorów skróconego mnożenia w drugą stronę. Zamiast rozwijać nawiasy, rozpoznasz gotowy wielomian i zapiszesz go jako iloczyn czynników.

Na start

Rozkład na czynniki zamienia sumę lub różnicę na iloczyn.

Najpierw rozpoznajesz kwadraty.

Czasem przed wzorem trzeba wyłączyć wspólny czynnik.

Po tej lekcji:

rozłożysz różnicę kwadratów na czynniki
rozpoznasz kwadrat sumy i kwadrat różnicy
połączysz wyłączanie wspólnego czynnika ze wzorami

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Różnica kwadratów w drugą stronę

Jeśli widzisz różnicę dwóch kwadratów, możesz zapisać ją jako iloczyn dwóch nawiasów. Jeden nawias ma minus, drugi plus.

Różnica x kwadrat minus dwadzieścia pięć przechodzi w iloczyn dwóch nawiasów.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Od różnicy do iloczynu

Rozłóż na czynniki $x^2-25$ .

Rozwiązanie

$25=5^2$ , więc $x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)$ .

Wskazówka

Ten wzór działa dla różnicy kwadratów. Wyrażenia $x^2+25$ nie rozłożysz nim na $(x-5)(x+5)$ .

02WYJAŚNIENIE

Większy składnik też może być kwadratem

Kwadratem może być nie tylko $x^2$ , ale też na przykład $9x^2$ , bo $9x^2=(3x)^2$ .

Rozpoznaj cały składnik

Rozłóż na czynniki $9x^2-16$ .

Rozwiązanie

$9x^2=(3x)^2$ i $16=4^2$ . Dlatego $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$ .

Wskazówka

Pytaj: co podniesione do kwadratu daje pierwszy składnik i co daje drugi składnik?

03WYJAŚNIENIE

Kwadrat sumy w drugą stronę

Trójmian jest kwadratem sumy, gdy pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a środkowy dokładnie pasuje do $2ab$ .

Rozpoznanie trójmianu x kwadrat plus dziesięć x plus dwadzieścia pięć jako kwadratu sumy.

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

Sprawdzenie trzech składników

Rozłóż na czynniki $x^2+10x+25$ .

Rozwiązanie

$x^2$ daje $a=x$ , $25=5^2$ daje $b=5$ . Środek pasuje, bo $2\cdot x\cdot5=10x$ . Wynik: $(x+5)^2$ .

04WYJAŚNIENIE

Kwadrat różnicy w drugą stronę

Jeśli pierwszy i ostatni składnik są dodatnimi kwadratami, a środkowy jest ujemny i pasuje do $-2ab$ , trójmian jest kwadratem różnicy.

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Znak w nawiasie

Rozłóż na czynniki $x^2-12x+36$ .

Rozwiązanie

$36=6^2$ i $-2\cdot x\cdot6=-12x$ , więc $x^2-12x+36=(x-6)^2$ .

Wskazówka

Nie wystarczy sprawdzić skrajnych składników. Środkowy też musi pasować.

05WYJAŚNIENIE

Gdy trójmian nie pasuje

Nie każdy trójmian z pierwszym i ostatnim kwadratem jest kwadratem nawiasu. Zawsze sprawdź środkowy składnik.

Fałszywy kwadrat sumy

Czy $x^2+8x+25$ można zapisać jako $(x+5)^2$ ?

Rozwiązanie

Gdyby to było $(x+5)^2$ , środkowy składnik wynosiłby $2\cdot x\cdot5=10x$ . W trójmianie jest $8x$ , więc wzór nie pasuje.

Zapamiętaj

Przy kwadracie sumy albo różnicy sprawdzasz trzy składniki.

06WYJAŚNIENIE

Najpierw wspólny czynnik, potem wzór

Czasem wzór widać dopiero po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias. To częsty ruch w zadaniach maturalnych.

Wspólny czynnik odsłania wzór

Rozłóż na czynniki $3x^2-27$ oraz $2x^2+8x+8$ .

Rozwiązanie

$3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3)$ . Drugi przykład: $2x^2+8x+8=2(x^2+4x+4)=2(x+2)^2$ .

Wskazówka

Jeśli wszystkie współczynniki mają wspólny dzielnik, wyłącz go przed szukaniem wzoru.

07WYJAŚNIENIE

Rozkład pomaga rozwiązać równanie

Jeśli iloczyn jest równy zero, to przynajmniej jeden czynnik musi być równy zero. Dlatego rozkład na czynniki zamienia część równań na proste przypadki.

$AB=0\quad\Rightarrow\quad A=0\text{ lub }B=0$

Równanie z różnicą kwadratów

Rozwiąż równanie $x^2-49=0$ .

Rozwiązanie

$x^2-49=(x-7)(x+7)$ , więc $(x-7)(x+7)=0$ . Stąd $x=7$ lub $x=-7$ .

Zapamiętaj

Rozkład jest szczególnie przydatny, gdy wyrażenie ma być równe $0$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Rozkład wyrażenia $x^2-36$ na czynniki to:

$(x-6)^2$

$(x-6)(x+6)$

$(x+6)^2$

$x(x-36)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(x-6)(x+6)$

$36=6^2$ , więc $x^2-36=(x-6)(x+6)$ .

PYTANIE 02

Wyrażenie $x^2+14x+49$ jest równe:

$(x+7)^2$

$(x-7)^2$

$(x-7)(x+7)$

$(x+14)^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(x+7)^2$

$49=7^2$ i $14x=2\cdot x\cdot7$ , więc $x^2+14x+49=(x+7)^2$ .

PYTANIE 03

Rozkład wyrażenia $4x^2-25$ to:

$(4x-5)(4x+5)$

$(2x-5)(2x+5)$

$(2x-25)(2x+25)$

$(4x-25)(x+1)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(2x-5)(2x+5)$

$4x^2=(2x)^2$ i $25=5^2$ , więc $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$ .

PYTANIE 04

Pełny rozkład wyrażenia $5x^2-20$ to:

$5(x-2)(x+2)$

$(5x-20)(x+1)$

$5(x-4)(x+4)$

$(x-2)(x+2)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5(x-2)(x+2)$

$5x^2-20=5(x^2-4)=5(x-2)(x+2)$ .

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

Wzory skróconego mnożenia można czytać w drugą stronę. Przy różnicy kwadratów szukasz dwóch kwadratów oddzielonych minusem. Przy kwadracie sumy lub różnicy sprawdzasz pierwszy, ostatni i środkowy składnik. Jeśli każdy składnik ma wspólny czynnik, wyłącz go przed użyciem wzoru.

Zapamiętaj

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Różnica kwadratów w drugą stronę

Większy składnik też może być kwadratem

Kwadrat sumy w drugą stronę

Kwadrat różnicy w drugą stronę

Gdy trójmian nie pasuje

Najpierw wspólny czynnik, potem wzór

Rozkład pomaga rozwiązać równanie

Teraz Twoja kolej

Rozkład wyrażenia x2−36x^2-36x2−36 na czynniki to:

Wyrażenie x2+14x+49x^2+14x+49x2+14x+49 jest równe:

Rozkład wyrażenia 4x2−254x^2-254x2−25 to:

Pełny rozkład wyrażenia 5x2−205x^2-205x2−20 to:

Najkrótsze podsumowanie metod

Rozkład wyrażenia $x^2-36$ na czynniki to:

Wyrażenie $x^2+14x+49$ jest równe:

Rozkład wyrażenia $4x^2-25$ to:

Pełny rozkład wyrażenia $5x^2-20$ to: