Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Wyrażenia algebraiczne · LEKCJA 2 Z 4

Mnożenie wielomianów

Wielomiany

◷ 17 minPoziom: podstawowy5 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się mnożyć wielomiany tak, żeby żaden składnik nie został pominięty. Najpierw pomnożysz jednomian przez nawias, potem dwa nawiasy, a na końcu zredukujesz wyrazy podobne.

Na start

Jednomian mnoży każdy składnik nawiasu.

Przy dwóch nawiasach każdy składnik mnoży każdy.

Znaki minus należą do składników.

Po tej lekcji:
  • pomnożysz jednomian przez wielomian
  • pomnożysz dwa nawiasy metodą każdy z każdym
  • zredukujesz wynik po mnożeniu
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Jednomian razy wielomian

Jeśli przed nawiasem stoi jednomian, mnożysz go przez każdy składnik w nawiasie. Liczby mnożysz z liczbami, a potęgi tej samej zmiennej łączysz prawem potęg.

Jednomian trzy x mnoży każdy składnik nawiasu.
Jednomian trzy x mnoży każdy składnik nawiasu.

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

x2⋅x3=x5x^2\cdot x^3=x^5

Każdy składnik nawiasu

Wymnóż 3x(2x2−5x+4)3x(2x^2-5x+4).

Rozwiązanie

3x⋅2x2=6x33x\cdot2x^2=6x^3, 3x⋅(−5x)=−15x23x\cdot(-5x)=-15x^2, 3x⋅4=12x3x\cdot4=12x. Wynik: 6x3−15x2+12x6x^3-15x^2+12x.

Wskazówka

Nie wolno pomnożyć tylko pierwszego składnika nawiasu.

02WYJAŚNIENIE

Minus przed mnożeniem

Ujemny czynnik przed nawiasem działa na każdy składnik. Znak wyniku liczysz osobno w każdym małym mnożeniu.

Ujemny jednomian

Wymnóż −2x(3x2−4x−5)-2x(3x^2-4x-5).

Rozwiązanie

−2x⋅3x2=−6x3-2x\cdot3x^2=-6x^3, −2x⋅(−4x)=8x2-2x\cdot(-4x)=8x^2, −2x⋅(−5)=10x-2x\cdot(-5)=10x. Wynik: −6x3+8x2+10x-6x^3+8x^2+10x.

Zapamiętaj

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

03WYJAŚNIENIE

Dwa nawiasy: każdy z każdym

Przy mnożeniu dwóch nawiasów każdy składnik pierwszego nawiasu mnożysz przez każdy składnik drugiego. Dopiero potem redukujesz wyrazy podobne.

Cztery mnożenia w iloczynie dwóch dwumianów.
Cztery mnożenia w iloczynie dwóch dwumianów.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Cztery iloczyny

Wymnóż (x+3)(x+5)(x+3)(x+5).

Rozwiązanie

(x+3)(x+5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15(x+3)(x+5)=x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15.

Zapamiętaj

Środkowy wyraz powstał z dwóch składników: 5x5x i 3x3x.

04WYJAŚNIENIE

Dwa nawiasy z minusem

Minus w nawiasie jest częścią składnika. W zapisie (x−4)(2x+3)(x-4)(2x+3) drugim składnikiem pierwszego nawiasu jest −4-4.

Znak należy do składnika

Wymnóż (x−4)(2x+3)(x-4)(2x+3).

Rozwiązanie

x⋅2x=2x2x\cdot2x=2x^2, x⋅3=3xx\cdot3=3x, −4⋅2x=−8x-4\cdot2x=-8x, −4⋅3=−12-4\cdot3=-12. Po redukcji: 2x2−5x−122x^2-5x-12.

Wskazówka

Nie traktuj (x−4)(x-4) jak (x+4)(x+4).

05WYJAŚNIENIE

Dłuższy nawias i redukcja

Gdy jeden nawias ma więcej składników, liczba mnożeń rośnie, ale metoda się nie zmienia. Najpierw zapisujesz wszystkie iloczyny, dopiero potem redukujesz.

Sześć iloczynów

Wymnóż (x+2)(x2−3x+4)(x+2)(x^2-3x+4).

Rozwiązanie

(x+2)(x2−3x+4)=x3−3x2+4x+2x2−6x+8(x+2)(x^2-3x+4)=x^3-3x^2+4x+2x^2-6x+8. Po redukcji: x3−x2−2x+8x^3-x^2-2x+8.

Zapamiętaj

Kolejność: wymnóż nawiasy, zapisz składniki, zredukuj.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wynik mnożenia 4x(2x−3)4x(2x-3) to:

A

8x2−12x8x^2-12x

B

8x−128x-12

C

8x2−38x^2-3

D

6x2−7x6x^2-7x

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

8x2−12x8x^2-12x

4x⋅2x=8x24x\cdot2x=8x^2 oraz 4x⋅(−3)=−12x4x\cdot(-3)=-12x.

PYTANIE 02

(x+2)(x+7)(x+2)(x+7) jest równe:

A

x2+9x+14x^2+9x+14

B

x2+14x^2+14

C

x2+7x+14x^2+7x+14

D

2x+92x+9

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

x2+9x+14x^2+9x+14

(x+2)(x+7)=x2+7x+2x+14=x2+9x+14(x+2)(x+7)=x^2+7x+2x+14=x^2+9x+14.

PYTANIE 03

(x−3)(x+4)(x-3)(x+4) jest równe:

A

x2+x−12x^2+x-12

B

x2−7x−12x^2-7x-12

C

x2+x+12x^2+x+12

D

x2−12x^2-12

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

x2+x−12x^2+x-12

(x−3)(x+4)=x2+4x−3x−12=x2+x−12(x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12.

PYTANIE 04

Wynik uproszczenia (x+1)(x−1)+2(x+1)(x-1)+2 to:

A

x2+1x^2+1

B

x2−3x^2-3

C

x2+2x+1x^2+2x+1

D

x2−1x^2-1

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

x2+1x^2+1

(x+1)(x−1)=x2−x+x−1=x2−1(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-1. Po dodaniu 22 otrzymujemy x2+1x^2+1.

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

Jednomian przed nawiasem mnoży każdy składnik nawiasu. Przy dwóch nawiasach każdy składnik pierwszego nawiasu mnoży każdy składnik drugiego. Po mnożeniu zawsze redukuj wyrazy podobne, a znak minus traktuj jako część składnika.

Zapamiętaj

a(b+c+d)=ab+ac+ada(b+c+d)=ab+ac+ad

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Najpierw mnożenie, potem redukcja.