Dodawanie i odejmowanie wielomianów

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się dodawać i odejmować wielomiany przez łączenie wyrazów podobnych. Przejdziesz od rozpoznania tych samych potęg do odejmowania całego nawiasu, gdzie minus zmienia znaki wszystkich składników.

Na start

Łączysz tylko wyrazy z taką samą częścią literową.

Przy dodawaniu nawiasy opuszczasz bez zmiany znaków.

Przy odejmowaniu zmienia się znak każdego składnika odejmowanego nawiasu.

Po tej lekcji:

rozpoznasz wyrazy podobne
dodasz i odejmiesz wielomiany
sprawdzisz wynik przez podstawienie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Które wyrazy można połączyć?

Wyrazy podobne mają tę samą część literową. Przy jednej zmiennej oznacza to tę samą potęgę $x$ . Dlatego można połączyć $3x^2$ i $-5x^2$ , ale nie $3x^2$ i $3x$ .

Wyrazy podobne pogrupowane według potęg x.

Wielomian jednej zmiennej to suma jednomianów z nieujemnymi całkowitymi wykładnikami tej zmiennej, np. $2x^2-3x+4$ . Wyraz wolny to składnik bez zmiennej, tutaj $4$ .

$3x^2-5x^2=-2x^2$

$3x^2+3x$ nie są wyrazami podobnymi.

Redukcja wyrazów podobnych

Zredukuj $4x^2+7x-2x^2+5-3x$ .

Rozwiązanie

$4x^2-2x^2=2x^2$ , $7x-3x=4x$ , a wyraz wolny to $5$ . Wynik: $2x^2+4x+5$ .

Zapamiętaj

Potęga przy $x$ musi być taka sama.

02WYJAŚNIENIE

Dodawanie wielomianów

Przy dodawaniu wielomianów opuszczasz nawiasy bez zmiany znaków. Potem zbierasz osobno wyrazy z tymi samymi potęgami i liczby bez zmiennej.

$(2x^2-3x+4)+(5x^2+x-7)=7x^2-2x-3$

Suma dwóch nawiasów

Oblicz $(2x^2-3x+4)+(5x^2+x-7)$ .

Rozwiązanie

Po opuszczeniu nawiasów mamy $2x^2-3x+4+5x^2+x-7$ . Redukujemy: $2x^2+5x^2=7x^2$ , $-3x+x=-2x$ , $4-7=-3$ . Wynik: $7x^2-2x-3$ .

Wskazówka

Wygodnie pisać składniki według potęg: $x^2$ pod $x^2$ , $x$ pod $x$ , liczby pod liczbami.

03WYJAŚNIENIE

Minus przed nawiasem

Odejmowanie wielomianów jest trudne głównie przez znaki. Minus przed nawiasem oznacza, że odejmujesz każdy składnik z tego nawiasu.

$-(5x^2+x-7)=-5x^2-x+7$

Różnica dwóch wielomianów

Oblicz $(2x^2-3x+4)-(5x^2+x-7)$ .

Rozwiązanie

Drugi nawias zmienia znaki: $2x^2-3x+4-5x^2-x+7$ . Redukujemy: $2x^2-5x^2=-3x^2$ , $-3x-x=-4x$ , $4+7=11$ . Wynik: $-3x^2-4x+11$ .

Wskazówka

Najczęstszy błąd to zmiana znaku tylko pierwszego składnika. Znak zmienia każdy składnik w odejmowanym nawiasie.

04WYJAŚNIENIE

Brakujące potęgi i sprawdzenie

Wielomian nie musi mieć wszystkich potęg. Jeśli brakuje wyrazu, możesz myśleć o współczynniku równym $0$ . Wynik można szybko sprawdzić przez podstawienie prostej liczby za $x$ .

$3x^3+5=3x^3+0x^2+0x+5$

$(A)-(B)=A+(-B)$

Brakujący wyraz

Oblicz $(3x^3+5)-(x^3-2x^2+4x-1)$ .

Rozwiązanie

Po zmianie znaków w drugim nawiasie: $3x^3+5-x^3+2x^2-4x+1$ . Wynik po redukcji: $2x^3+2x^2-4x+6$ .

Wskazówka

Podstawienie jednej liczby nie jest dowodem, ale szybko wyłapuje wiele błędów znaków.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wynik redukcji wyrażenia $6x^2-4x+3-2x^2+x-8$ to:

$4x^2-3x-5$

$8x^2-5x+11$

$4x^2-5x-5$

$4x^2-3x+11$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$4x^2-3x-5$

$6x^2-2x^2=4x^2$ , $-4x+x=-3x$ , $3-8=-5$ .

PYTANIE 02

$(3x^2+x-6)+(2x^2-5x+1)$ jest równe:

$5x^2-4x-5$

$x^2+6x-7$

$5x^2+6x-5$

$6x^4-4x-5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5x^2-4x-5$

$3x^2+2x^2=5x^2$ , $x-5x=-4x$ , $-6+1=-5$ .

PYTANIE 03

$(4x^2-3x+2)-(x^2+5x-7)$ jest równe:

$3x^2+2x-5$

$3x^2-8x+9$

$5x^2+2x-5$

$3x^2-8x-5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3x^2-8x+9$

Minus zmienia znaki drugiego nawiasu: $4x^2-3x+2-x^2-5x+7=3x^2-8x+9$ .

PYTANIE 04

Które wyrazy są podobne?

Wskaż parę wyrazów podobnych.

$2x^2\text{ i }2x$

$-7x\text{ i }3x$

$5x^3\text{ i }5x^2$

$4\text{ i }4x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-7x\text{ i }3x$

Para $-7x$ i $3x$ ma tę samą część literową.

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

Dodawanie wielomianów polega na opuszczeniu nawiasów i połączeniu wyrazów podobnych. Odejmowanie wielomianów wymaga zmiany znaków wszystkich składników odejmowanego nawiasu. Po redukcji porządkuj wynik od najwyższej potęgi do najniższej.

Zapamiętaj

$(A)-(B)=A+(-B)$

Łącz tylko te same potęgi zmiennej.

Wynik możesz kontrolnie sprawdzić przez podstawienie.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Które wyrazy można połączyć?

Dodawanie wielomianów

Minus przed nawiasem

Brakujące potęgi i sprawdzenie

Teraz Twoja kolej

Wynik redukcji wyrażenia 6x2−4x+3−2x2+x−86x^2-4x+3-2x^2+x-86x2−4x+3−2x2+x−8 to:

(3x2+x−6)+(2x2−5x+1)(3x^2+x-6)+(2x^2-5x+1)(3x2+x−6)+(2x2−5x+1) jest równe:

(4x2−3x+2)−(x2+5x−7)(4x^2-3x+2)-(x^2+5x-7)(4x2−3x+2)−(x2+5x−7) jest równe:

Które wyrazy są podobne?

Najkrótsze podsumowanie metod

Wynik redukcji wyrażenia $6x^2-4x+3-2x^2+x-8$ to:

$(3x^2+x-6)+(2x^2-5x+1)$ jest równe:

$(4x^2-3x+2)-(x^2+5x-7)$ jest równe: