Odległość między liczbami na osi

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji przeniesiesz wartość bezwzględną z odległości od zera na odległość między dowolnymi dwiema liczbami. Nauczysz się liczyć takie odległości bez zgadywania z rysunku.

Na start

odległość między liczbami zapiszesz jako $|a-b|$

kolejność odejmowania nie zmienia odległości

rysunek osi pomaga przy liczbach ujemnych

Po tej lekcji:

obliczysz odległość między dwiema liczbami na osi
zapiszesz odległość jako wartość bezwzględną różnicy
rozpoznasz zapis |x-a| jako odległość od liczby a

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Odległość między 2 i 7

Na osi liczbowej liczby $2$ i $7$ leżą po tej samej stronie zera. Odległość między nimi to długość odcinka od $2$ do $7$ .

Oś liczbowa z odcinkiem od 2 do 7 opisanym jako 5 jednostek.

$7-2=5$

odległość między $2$ i $7$ wynosi $5$

02WYJAŚNIENIE

Dlaczego używamy wartości bezwzględnej?

Różnice $7-2=5$ i $2-7=-5$ mają przeciwne znaki, ale opisują te same dwa punkty. Odległość ma być nieujemna, dlatego bierzemy wartość bezwzględną różnicy. Dla tego samego punktu odległość wynosi zero.

$|7-2|=|5|=5$

$|2-7|=|-5|=5$

$\text{odległość między }a\text{ i }b=|a-b|$

Zapamiętaj

$|a-b|=|b-a|$

03WYJAŚNIENIE

Odległość przez zero

Gdy jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia, odległość przechodzi przez zero. Można ją policzyć z rysunku albo jednym zapisem z wartością bezwzględną.

Oś liczbowa pokazująca odległość od -3 do 4 jako 7 jednostek przez zero.

$|4-(-3)|=|4+3|=7$

od $-3$ do $0$ są $3$ jednostki, a od $0$ do $4$ są $4$

Wskazówka

Nie licz $4-3$ . Pierwsza liczba to $-3$ , więc odległość przechodzi przez zero.

04WYJAŚNIENIE

Odległość między dwiema liczbami ujemnymi

Przy dwóch liczbach ujemnych łatwo pomylić się w odejmowaniu. Najbezpieczniej zapisać różnicę w wartości bezwzględnej i dopiero potem spokojnie policzyć.

Oś liczbowa pokazująca, że odległość między -8 i -2 wynosi 6.

$|-2-(-8)|=|-2+8|=|6|=6$

Wskazówka

Między $-8$ i $-2$ jest $6$ jednostek, a nie $10$ ani $-6$ .

05WYJAŚNIENIE

Zapis $|x-a|$ jako odległość od liczby $a$

Zapis $|x-a|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $a$ . To jest ten sam pomysł co wcześniej, tylko punktem odniesienia nie musi być zero.

Oś liczbowa pokazująca, że |x-5| mierzy odległość punktu x od 5.

$|x-a|=\text{odległość liczby }x\text{ od liczby }a$

$|x-5|$ oznacza odległość od $5$

$|x+3|=|x-(-3)|$ oznacza odległość od $-3$

06WYJAŚNIENIE

Liczby oddalone o tyle samo od jednego punktu

Jeżeli liczba ma być oddalona od $1$ o $4$ jednostki, to można pójść od $1$ o $4$ w prawo albo o $4$ w lewo.

Oś liczbowa pokazująca liczby -3 i 5 oddalone od 1 o 4 jednostki.

$|x-1|=4$

$1-4=-3$

$1+4=5$

Zapamiętaj

odległość od jednego punktu daje zwykle dwa punkty na osi

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Odległość między liczbami 3 i 10 wynosi:

$7$

$13$

$-7$

$30$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$7$

Odległość to $|10-3|=|7|=7$ .

PYTANIE 02

Odległość między liczbami -4 i 6 wynosi:

$2$

$6$

$10$

$-10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$10$

Liczymy $|6-(-4)|=|6+4|=|10|=10$ .

PYTANIE 03

Który zapis opisuje odległość liczby x od liczby -2?

$|x-2|$

$|x+2|$

$x-2$

$-|x|$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$|x+2|$

Odległość od $-2$ zapisujemy jako $|x-(-2)|$ , czyli $|x+2|$ .

PYTANIE 04

Liczby oddalone od 3 o 5 jednostek to:

$-2\text{ i }8$

$2\text{ i }8$

$-5\text{ i }5$

$-8\text{ i }2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-2\text{ i }8$

Od liczby $3$ idziemy $5$ jednostek w lewo: $3-5=-2$ , oraz $5$ jednostek w prawo: $3+5=8$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Odległość między dwiema liczbami na osi można obliczyć jako wartość bezwzględną ich różnicy. Dzięki temu wynik jest dodatni niezależnie od kolejności odejmowania.

Zapamiętaj

$|a-b|=|b-a|$

$|x-5|$ oznacza odległość od $5$

$|x+2|$ oznacza odległość od $-2$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Odległość między 2 i 7

Dlaczego używamy wartości bezwzględnej?

Odległość przez zero

Odległość między dwiema liczbami ujemnymi

Zapis ∣x−a∣|x-a|∣x−a∣ jako odległość od liczby aaa

Liczby oddalone o tyle samo od jednego punktu

Teraz Twoja kolej

Odległość między liczbami 3 i 10 wynosi:

Odległość między liczbami -4 i 6 wynosi:

Który zapis opisuje odległość liczby x od liczby -2?

Liczby oddalone od 3 o 5 jednostek to:

Co trzeba zapamiętać?

Zapis $|x-a|$ jako odległość od liczby $a$