Wartość bezwzględna jako odległość od zera

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się czytać zapis z dwiema pionowymi kreskami, na przykład $|-5|$ . Najpierw potraktujesz wartość bezwzględną jako odległość od zera, potem zobaczysz, jak ją obliczać bez rysowania osi, a na końcu przećwiczysz typowe krótkie zadania maturalne.

Na start

wartość bezwzględna mówi o odległości

odległość nie może być ujemna

najpierw liczysz to, co jest między kreskami

Po tej lekcji:

obliczysz wartość bezwzględną liczby dodatniej, ujemnej i zera
zinterpretujesz wartość bezwzględną jako odległość od zera
policzysz proste wyrażenia z wartością bezwzględną

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dwie liczby, ta sama odległość od zera

Liczba $4$ leży cztery jednostki na prawo od zera. Liczba $-4$ leży cztery jednostki na lewo od zera. Kierunek jest inny, ale odległość od zera jest taka sama.

Oś liczbowa pokazująca, że -4 i 4 są w tej samej odległości od zera.

$|-4|=4$

$|4|=4$

Zapamiętaj

$|-4|$ oznacza odległość liczby $-4$ od zera, czyli $4$

02WYJAŚNIENIE

Co oznaczają pionowe kreski?

Zapis $|a|$ czytamy: wartość bezwzględna liczby $a$ . W tej lekcji myślimy o tym tak: $|a|$ to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej.

$|a|=\text{odległość liczby }a\text{ od }0$

$|7|=7$

$|-7|=7$

$|0|=0$

03WYJAŚNIENIE

Reguła bez rysowania osi

Na maturze zwykle nie rysujesz osi za każdym razem. Wystarczy pamiętać, że wartość bezwzględna zostawia liczby dodatnie i zero bez zmian, a z liczby ujemnej robi liczbę przeciwną.

$|a|=a$ , gdy $a\ge 0$

$|a|=-a$ , gdy $a<0$

$|-12|=12$

Wskazówka

Nie mów tylko: wartość bezwzględna usuwa minus. Lepiej mów: wartość bezwzględna daje odległość od zera. To chroni przed błędami w trudniejszych przykładach.

04WYJAŚNIENIE

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna

Odległość nie może wynosić $-3$ metry ani $-5$ jednostek. Tak samo wartość bezwzględna nie może mieć wyniku ujemnego.

$|a|\ge 0$

Równanie $|x|=-2$ nie ma rozwiązania.

Zapamiętaj

najmniejsza możliwa wartość $|a|$ to $0$

nie istnieje liczba, której odległość od zera jest ujemna

05WYJAŚNIENIE

Najpierw policz to, co jest w środku

Jeżeli między pionowymi kreskami jest działanie, najpierw liczysz wartość wyrażenia w środku. Dopiero potem bierzesz odległość otrzymanej liczby od zera.

$|3-8|=|-5|=5$

$|10-4|=|6|=6$

Wskazówka

Błąd: $|3-8|=|3|-|8|=-5$ . Poprawnie: $|3-8|=|-5|=5$ .

06WYJAŚNIENIE

Wartość bezwzględna w prostym rachunku

W zadaniach maturalnych wartość bezwzględna często występuje jako część większego działania. Najpierw obliczasz wartości bezwzględne, a potem wykonujesz resztę rachunku.

$|-6|+|2|=6+2=8$

$|-9|-|4-10|=9-|-6|=9-6=3$

Wskazówka

Gdy widzisz kilka wartości bezwzględnych, licz je po kolei i zapisuj wynik każdej z nich.

07WYJAŚNIENIE

Dwie liczby mogą mieć tę samą wartość bezwzględną

Liczby przeciwne, na przykład $-5$ i $5$ , leżą po dwóch stronach zera. Są jednak tak samo daleko od zera, więc mają tę samą wartość bezwzględną.

Oś liczbowa pokazująca, że -5 i 5 mają tę samą wartość bezwzględną.

$|-5|=|5|=5$

$|a|=|-a|$

Zapamiętaj

wartość bezwzględna traci informację o stronie osi, ale zachowuje odległość od zera

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $|-11|$ ?

$-11$

$0$

$11$

$-1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$11$

Liczba $-11$ jest oddalona od zera o $11$ jednostek, więc $|-11|=11$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $|5-13|$ ?

$-8$

$8$

$18$

$-18$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8$

Najpierw liczymy środek: $5-13=-8$ . Potem bierzemy wartość bezwzględną: $|-8|=8$ .

PYTANIE 03

Które zdanie jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej a?

$|a|<0$

$|a|\le 0$

$|a|\ge 0$

$|a|=a$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$|a|\ge 0$

Wartość bezwzględna oznacza odległość od zera, a odległość nigdy nie jest ujemna.

PYTANIE 04

Ile wynosi $|-3|+|7-10|$ ?

$0$

$3$

$6$

$-6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$6$

Mamy $|-3|=3$ , a $7-10=-3$ , więc $|7-10|=3$ . Suma wynosi $3+3=6$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Dlatego $|a|$ nigdy nie jest ujemne. Gdy w środku jest działanie, najpierw oblicz środek, a dopiero potem wartość bezwzględną.

Zapamiętaj

$|-a|=|a|$

$|a|\ge 0$

$|3-8|=|-5|=5$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Dwie liczby, ta sama odległość od zera

Co oznaczają pionowe kreski?

Reguła bez rysowania osi

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna

Najpierw policz to, co jest w środku

Wartość bezwzględna w prostym rachunku

Dwie liczby mogą mieć tę samą wartość bezwzględną

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi ∣−11∣|-11|∣−11∣?

Ile wynosi ∣5−13∣|5-13|∣5−13∣?

Które zdanie jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej a?

Ile wynosi ∣−3∣+∣7−10∣|-3|+|7-10|∣−3∣+∣7−10∣?

Co trzeba zapamiętać?

Ile wynosi $|-11|$ ?

Ile wynosi $|5-13|$ ?

Ile wynosi $|-3|+|7-10|$ ?