Proste równania z wartością bezwzględną

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozwiązywać równania, w których niewiadoma znajduje się między kreskami wartości bezwzględnej. Najpierw użyjesz osi liczbowej, potem zapiszesz tę samą metodę rachunkowo.

Na start

równanie z wartością bezwzględną często ma dwa rozwiązania

prawa strona jako odległość nie może być ujemna

zapis $|A|=c$ rozbijesz na dwa przypadki

Po tej lekcji:

rozwiążesz równanie typu |x|=a
rozwiążesz równanie typu |x-b|=a
rozpoznasz przypadek bez rozwiązań

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Równanie $|x|=4$ jako odległość od zera

Równanie $|x|=4$ pyta o liczby, których odległość od zera wynosi $4$ . Na osi liczbowej są dwie takie liczby: $-4$ i $4$ .

Oś liczbowa pokazująca rozwiązania równania |x|=4: -4 i 4.

$|x|=4$

$x=-4\quad \text{lub}\quad x=4$

02WYJAŚNIENIE

Trzy przypadki dla $|x|=a$

Równanie $|x|=a$ zależy od tego, jaka liczba stoi po prawej stronie. Prawa strona opisuje odległość, więc nie może być ujemna.

$a>0\Rightarrow x=a\text{ lub }x=-a$

$a=0\Rightarrow x=0$

$a<0\Rightarrow \text{brak rozwiązań}$

Wskazówka

Nie zapisuj automatycznie dwóch rozwiązań, jeśli po prawej stronie jest $0$ albo liczba ujemna. Najpierw sprawdź znak prawej strony.

03WYJAŚNIENIE

Równanie $|x-3|=5$ jako odległość od liczby $3$

Zapis $|x-3|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $3$ . Równanie pyta więc: które liczby są oddalone od $3$ o $5$ jednostek?

Oś liczbowa pokazująca rozwiązania równania |x-3|=5: -2 i 8.

$|x-3|=5$

$3-5=-2$

$3+5=8$

$x=-2\quad \text{lub}\quad x=8$

04WYJAŚNIENIE

Ten sam przykład zapisany rachunkowo

Skoro coś ma wartość bezwzględną równą $5$ , to to wyrażenie mogło być równe $5$ albo $-5$ .

$|x-3|=5$

$x-3=5\quad \text{lub}\quad x-3=-5$

$x=8\quad \text{lub}\quad x=-2$

Zapamiętaj

wartość bezwzględna znika dopiero wtedy, gdy rozpiszesz dwa przypadki

05WYJAŚNIENIE

Równanie $|x+2|=7$

Zapis $|x+2|$ można potraktować jako $|x-(-2)|$ . To znaczy, że chodzi o odległość liczby $x$ od liczby $-2$ . Rachunkowo rozbijamy równanie na dwa przypadki.

$x+2=7\quad \text{lub}\quad x+2=-7$

$x=5\quad \text{lub}\quad x=-9$

Wskazówka

Przy zapisie $|x+2|$ nie myśl: odległość od $2$ . Poprawnie: odległość od $-2$ .

06WYJAŚNIENIE

Gdy w środku jest wyrażenie z x

Wyrażenie między kreskami musi być równe podanej dodatniej liczbie lub jej liczbie przeciwnej. W każdym przypadku wykonujemy te same działania po obu stronach równania: tutaj najpierw dodajemy sześć, potem dzielimy przez dwa. Pierwszy przypadek: $2x-6=4$ , więc $2x=10$ i $x=5$ . Drugi: $2x-6=-4$ , więc $2x=2$ i $x=1$ .

$|2x-6|=4$

$2x-6=4\quad \text{lub}\quad 2x-6=-4$

$x=5\quad \text{lub}\quad x=1$

Zapamiętaj

nie zmieniasz znaku samego $x$

zmieniasz prawą stronę na $4$ i $-4$

07WYJAŚNIENIE

Sprawdzenie rozwiązań

W równaniach z wartością bezwzględną łatwo zgubić znak. Krótkie podstawienie rozwiązań do równania pokazuje, czy oba wyniki naprawdę pasują.

$x=5:\ |2\cdot5-6|=|4|=4$

$x=1:\ |2\cdot1-6|=|-4|=4$

Wskazówka

Jedno rozwiązanie daje w środku liczbę dodatnią, a drugie ujemną. Wartość bezwzględna z obu robi tę samą odległość.

08WYJAŚNIENIE

Kiedy równanie nie ma rozwiązania?

Wartość bezwzględna nie może być ujemna. Dlatego równanie, w którym po prawej stronie stoi liczba ujemna, nie ma rozwiązania.

$|x-4|=-6$

$\text{brak rozwiązań}$

Wskazówka

Błąd: rozpisywanie $|x-4|=-6$ na dwa przypadki. Najpierw sprawdź znak prawej strony.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Rozwiązaniami równania $|x|=6$ są:

tylko $6$

tylko $-6$

$-6\text{ i }6$

brak rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$-6\text{ i }6$

Liczby oddalone od zera o $6$ jednostek to $-6\text{ i }6$ .

PYTANIE 02

Rozwiązaniami równania $|x-2|=5$ są:

$-3\text{ i }7$

$3\text{ i }7$

$-7\text{ i }3$

$-5\text{ i }5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-3\text{ i }7$

Szukamy liczb oddalonych od $2$ o $5$ . Mamy $2-5=-3$ oraz $2+5=7$ .

PYTANIE 03

Równanie $|x+1|=4$ ma rozwiązania:

$-5\text{ i }3$

$-3\text{ i }5$

$1\text{ i }4$

$-4\text{ i }4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-5\text{ i }3$

Rozpisujemy $x+1=4$ lub $x+1=-4$ . Stąd $x=3$ lub $x=-5$ .

PYTANIE 04

Ile rozwiązań ma równanie $|x-7|=-2$ ?

$0$

$1$

$2$

nieskończenie wiele

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$0$

Wartość bezwzględna nie może być ujemna, więc równanie z prawą stroną $-2$ nie ma rozwiązań.

PYTANIE 05

Rozwiązaniami równania $|3x-6|=3$ są:

$1\text{ i }3$

$-1\text{ i }3$

$0\text{ i }2$

$1\text{ i }2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$1\text{ i }3$

Rozpisujemy $3x-6=3$ lub $3x-6=-3$ . Z pierwszego równania $x=3$ , z drugiego $x=1$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Proste równania z wartością bezwzględną rozwiązujesz przez interpretację odległości albo przez rozpisanie dwóch przypadków. Jeśli prawa strona jest ujemna, równanie nie ma rozwiązania.

Zapamiętaj

$|A|=c,\ c>0\Rightarrow A=c\text{ lub }A=-c$

$|x-b|=a$ oznacza liczby oddalone od $b$ o $a$

$|A|=-c$ , gdzie $c>0$ , nie ma rozwiązania

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Równanie ∣x∣=4|x|=4∣x∣=4 jako odległość od zera

Trzy przypadki dla ∣x∣=a|x|=a∣x∣=a

Równanie ∣x−3∣=5|x-3|=5∣x−3∣=5 jako odległość od liczby 333

Ten sam przykład zapisany rachunkowo

Równanie ∣x+2∣=7|x+2|=7∣x+2∣=7

Gdy w środku jest wyrażenie z x

Sprawdzenie rozwiązań

Kiedy równanie nie ma rozwiązania?

Teraz Twoja kolej

Rozwiązaniami równania ∣x∣=6|x|=6∣x∣=6 są:

Rozwiązaniami równania ∣x−2∣=5|x-2|=5∣x−2∣=5 są:

Równanie ∣x+1∣=4|x+1|=4∣x+1∣=4 ma rozwiązania:

Ile rozwiązań ma równanie ∣x−7∣=−2|x-7|=-2∣x−7∣=−2?

Rozwiązaniami równania ∣3x−6∣=3|3x-6|=3∣3x−6∣=3 są:

Co trzeba zapamiętać?

Równanie $|x|=4$ jako odległość od zera

Trzy przypadki dla $|x|=a$

Równanie $|x-3|=5$ jako odległość od liczby $3$

Równanie $|x+2|=7$

Rozwiązaniami równania $|x|=6$ są:

Rozwiązaniami równania $|x-2|=5$ są:

Równanie $|x+1|=4$ ma rozwiązania:

Ile rozwiązań ma równanie $|x-7|=-2$ ?

Rozwiązaniami równania $|3x-6|=3$ są: