Metoda przeciwnych współczynników

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się usuwać jedną niewiadomą przez dodawanie albo odejmowanie równań stronami. Metoda jest szczególnie szybka, gdy przy $x$ albo $y$ stoją liczby przeciwne.

Na start

Liczby przeciwne sumują się do zera.

Można pomnożyć całe równanie, żeby uzyskać przeciwne współczynniki.

Po znalezieniu jednej niewiadomej wracasz po drugą.

Po tej lekcji:

usuniesz jedną niewiadomą przez dodanie równań
dobierzesz mnożnik równania
sprawdzisz otrzymaną parę

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Gdy współczynniki są już przeciwne

Jeśli w jednym równaniu masz $+y$ , a w drugim $-y$ , po dodaniu równań niewiadoma $y$ zniknie.

Dodawanie równań, w którym składniki plus y i minus y dają zero.

$\begin{cases}x+y=8\\2x-y=7\end{cases}$

Dodawanie równań stronami

Rozwiąż układ $\begin{cases}x+y=8\\2x-y=7\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Dodajemy równania, bo $+y-y=0$ . Otrzymujemy $3x=15$ , więc $x=5$ . Z równania $x+y=8$ mamy $y=3$ .

02WYJAŚNIENIE

Czasem trzeba pomnożyć równanie

Jeśli współczynniki nie są przeciwne, możesz pomnożyć całe równanie przez wybraną liczbę. Całe równanie oznacza każdy składnik po obu stronach.

Przygotowanie przeciwnych współczynników

Rozwiąż układ $\begin{cases}x+2y=11\\3x-y=8\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Chcemy usunąć $y$ . W pierwszym równaniu jest $2y$ , więc drugie mnożymy przez $2$ , uzyskując $6x-2y=16$ . Dodajemy stronami: $(x+2y)+(6x-2y)=11+16$ , czyli $7x=27$ i $x=\frac{27}{7}$ . Wracamy do $3x-y=8$ : $y=3x-8=\frac{81}{7}-\frac{56}{7}=\frac{25}{7}$ .

Wskazówka

Z równania $3x-y=8$ po pomnożeniu przez $2$ dostajesz $6x-2y=16$ .

03WYJAŚNIENIE

Wybierz łatwiejszą niewiadomą

Nie zawsze warto usuwać pierwszą zmienną z brzegu. Porównaj współczynniki i wybierz tę niewiadomą, dla której szybciej dostaniesz liczby przeciwne albo takie same.

Jedno mnożenie wystarczy

Rozwiąż układ $\begin{cases}2x+3y=13\\4x-y=5\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Łatwiej usunąć $y$ , bo mamy $3y$ i $-y$ . Drugie równanie mnożymy przez $3$ : $12x-3y=15$ . Po dodaniu $14x=28$ , więc $x=2$ i $y=3$ .

Wskazówka

Szukaj par współczynników typu $3$ i $-1$ albo $5$ i $-5$ .

04WYJAŚNIENIE

Można też odejmować równania

Jeśli współczynniki są takie same, a nie przeciwne, możesz odjąć równania stronami. To usuwa wybraną niewiadomą tak samo skutecznie.

$\begin{cases}3x+2y=14\\3x-y=5\end{cases}$

Takie same współczynniki przy x

Rozwiąż układ $\begin{cases}3x+2y=14\\3x-y=5\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Odejmujemy drugie równanie od pierwszego: $(3x+2y)-(3x-y)=14-5$ . Dostajemy $3y=9$ , więc $y=3$ . Z równania $3x-y=5$ mamy $x=\frac{8}{3}$ .

Zapamiętaj

Przeciwne współczynniki: dodaj równania.

Takie same współczynniki: możesz odjąć równania.

05WYJAŚNIENIE

Sprawdzenie wyniku jest krótkie

Po eliminacji łatwo zgubić znak albo pomnożyć tylko część równania. Krótkie podstawienie pary do obu równań szybko wykrywa błąd.

Kontrola pary

Sprawdź, czy $(2,3)$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases}2x+3y=13\\4x-y=5\end{cases}$ .

Rozwiązanie

$2\cdot2+3\cdot3=13$ oraz $4\cdot2-3=5$ . Para spełnia oba równania.

Wskazówka

Nie zapisuj odpowiedzi po znalezieniu tylko jednej niewiadomej.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

W układzie $\begin{cases}x+y=9\\2x-y=6\end{cases}$ po dodaniu równań otrzymujemy:

$3x=15$

$3x=3$

$x=15$

$3y=15$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3x=15$

Składniki $+y$ i $-y$ się zerują, a $x+2x=3x$ oraz $9+6=15$ .

PYTANIE 02

Aby w układzie $\begin{cases}x+3y=7\\2x-y=4\end{cases}$ wyeliminować $y$ , drugie równanie najlepiej pomnożyć przez:

$2$

$3$

$-3$

$\frac{1}{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

Po pomnożeniu drugiego równania przez $3$ dostajemy $6x-3y=12$ , a $+3y-3y=0$ .

PYTANIE 03

Rozwiązaniem układu $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ jest:

$(2,3)$

$(3,2)$

$(4,1)$

$(1,4)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(3,2)$

Dodanie równań daje $2x=6$ , więc $x=3$ . Wtedy $3+y=5$ , czyli $y=2$ .

PYTANIE 04

Jeśli mnożymy równanie $2x-3y=5$ przez $-2$ , otrzymujemy:

$-4x+6y=-10$

$-4x-3y=5$

$2x+6y=-10$

$-4x+6y=5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-4x+6y=-10$

Każdy składnik mnożymy przez $-2$ : $2x\mapsto -4x$ , $-3y\mapsto 6y$ , $5\mapsto -10$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z eliminacji?

Metoda przeciwnych współczynników polega na przygotowaniu równań tak, żeby jedna niewiadoma zniknęła po dodaniu albo odjęciu równań stronami. Jeśli trzeba, mnożysz całe równanie przez wybraną liczbę. Po obliczeniu jednej niewiadomej podstawiasz ją do prostszego równania i zapisujesz parę $(x,y)$ .

Zapamiętaj

Przeciwne współczynniki dają zero po dodaniu.

Takie same współczynniki można usunąć przez odejmowanie.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Gdy współczynniki są już przeciwne

Czasem trzeba pomnożyć równanie

Wybierz łatwiejszą niewiadomą

Można też odejmować równania

Sprawdzenie wyniku jest krótkie

Teraz Twoja kolej

W układzie {x+y=92x−y=6\begin{cases}x+y=9\\2x-y=6\end{cases}{x+y=92x−y=6​ po dodaniu równań otrzymujemy:

Aby w układzie {x+3y=72x−y=4\begin{cases}x+3y=7\\2x-y=4\end{cases}{x+3y=72x−y=4​ wyeliminować yyy, drugie równanie najlepiej pomnożyć przez:

Rozwiązaniem układu {x+y=5x−y=1\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}{x+y=5x−y=1​ jest:

Jeśli mnożymy równanie 2x−3y=52x-3y=52x−3y=5 przez −2-2−2, otrzymujemy:

Co zapamiętać z eliminacji?

W układzie $\begin{cases}x+y=9\\2x-y=6\end{cases}$ po dodaniu równań otrzymujemy:

Aby w układzie $\begin{cases}x+3y=7\\2x-y=4\end{cases}$ wyeliminować $y$ , drugie równanie najlepiej pomnożyć przez:

Rozwiązaniem układu $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ jest:

Jeśli mnożymy równanie $2x-3y=5$ przez $-2$ , otrzymujemy: