Interpretacja geometryczna układów równań

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Zobaczysz, że każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Rozwiązanie układu to punkt, który leży na obu prostych jednocześnie.

Na start

Punkt wspólny prostych jest rozwiązaniem układu.

Brak punktu wspólnego oznacza brak rozwiązań.

Ta sama prosta oznacza nieskończenie wiele rozwiązań.

Po tej lekcji:

połączysz równanie liniowe z prostą
odczytasz rozwiązanie jako punkt przecięcia
rozpoznasz liczbę rozwiązań z położenia prostych

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Jedno równanie to jedna prosta

Równanie $y=x+1$ opisuje wszystkie punkty, których współrzędne spełniają ten warunek. Na wykresie tworzą prostą.

Prosta y równa x plus jeden z zaznaczonym punktem dwa trzy.

Para $(x,y)$ opisuje punkt: pierwsza liczba wskazuje położenie w poziomie, druga w pionie. Na prostej $y=x+1$ leżą np. $(0,1)$ , $(1,2)$ i $(2,3)$ , bo każda para spełnia równanie.

Punkt na prostej

Sprawdź, czy punkt $(2,3)$ leży na prostej $y=x+1$ .

Rozwiązanie

Z punktu odczytujemy $x=2$ , $y=3$ . Po podstawieniu $3=2+1$ , więc punkt leży na prostej.

02WYJAŚNIENIE

Punkt przecięcia jest rozwiązaniem

Jeśli dwie proste przecinają się w jednym punkcie, współrzędne tego punktu spełniają oba równania.

Dwie proste przecinają się w punkcie dwa trzy, który jest rozwiązaniem układu.

$\begin{cases}y=x+1\\y=-x+5\end{cases}$

Sprawdzenie punktu przecięcia

Sprawdź, czy $(2,3)$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases}y=x+1\\y=-x+5\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Pierwsze równanie: $3=2+1$ . Drugie równanie: $3=-2+5$ . Punkt spełnia oba równania.

03WYJAŚNIENIE

Równoległe albo te same proste

Równoległe różne proste nie mają punktu wspólnego, więc układ nie ma rozwiązań. Jeśli dwa równania opisują tę samą prostą, każdy punkt tej prostej spełnia oba równania.

Dwie równoległe proste bez punktu przecięcia.

$\begin{cases}y=2x+1\\y=2x-3\end{cases}$ nie ma rozwiązań.

$\begin{cases}y=x+2\\2y=2x+4\end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozpoznanie liczby rozwiązań

Ile rozwiązań ma układ $\begin{cases}y=2x+1\\y=2x-3\end{cases}$ ?

Rozwiązanie

Dla każdego $x$ wartości $2x+1$ i $2x-3$ różnią się o $4$ . Nie mogą więc być równe dla żadnego $x$ . Na rysunku odpowiada to dwóm prostym o takim samym nachyleniu, stale oddalonym od siebie w pionie o $4$ jednostki. Układ nie ma rozwiązania.

04WYJAŚNIENIE

Trzy możliwe sytuacje

Liczba punktów wspólnych dwóch prostych mówi, ile rozwiązań ma układ.

Trzy typy układów prostych: jedno rozwiązanie, brak rozwiązań i nieskończenie wiele rozwiązań.

Zapamiętaj

Równanie $ax+by=c$ opisuje prostą, jeśli co najmniej jeden ze współczynników $a,b$ jest niezerowy. Rozwiązania układu to punkty wspólne obu prostych. Dwie proste przecinające się dają jedno rozwiązanie, różne równoległe nie dają żadnego, a pokrywające się dają nieskończenie wiele rozwiązań. Punkt zapisuj jako $(x,y)$ : najpierw współrzędna pozioma, potem pionowa.

Zapamiętaj

Rozwiązanie z wykresu zapisuj jako $(x,y)$ .

Najpierw odczytujesz $x$ , potem $y$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Jedno równanie to jedna prosta

Punkt przecięcia jest rozwiązaniem

Równoległe albo te same proste

Trzy możliwe sytuacje

Teraz Twoja kolej

Dwie proste przecinają się w punkcie (3,−1)(3,-1)(3,−1). Rozwiązaniem układu jest:

Układ {y=4x+2y=4x−5\begin{cases}y=4x+2\\y=4x-5\end{cases}{y=4x+2y=4x−5​ ma:

Układ {y=3x−12y=6x−2\begin{cases}y=3x-1\\2y=6x-2\end{cases}{y=3x−12y=6x−2​ ma:

Jeśli dwie proste mają dokładnie jeden punkt wspólny, to układ ma:

Co zapamiętać z geometrii układu?

Dwie proste przecinają się w punkcie $(3,-1)$ . Rozwiązaniem układu jest:

Układ $\begin{cases}y=4x+2\\y=4x-5\end{cases}$ ma:

Układ $\begin{cases}y=3x-1\\2y=6x-2\end{cases}$ ma: