Metoda podstawiania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozwiązywać układ przez zastąpienie jednej niewiadomej wyrażeniem z drugiego równania. Dzięki temu z dwóch niewiadomych zostaje jedno równanie z jedną niewiadomą.

Na start

Wybierz równanie, z którego łatwo wyznaczyć niewiadomą.

Podstaw wyrażenie do drugiego równania.

Wróć po drugą niewiadomą i sprawdź parę.

Po tej lekcji:

wyznaczysz jedną niewiadomą
podstawisz ją do drugiego równania
zapiszesz wynik jako parę

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw wyznacz jedną niewiadomą

Metoda podstawiania jest najwygodniejsza, gdy jedno równanie już mówi, ile wynosi jedna niewiadoma albo łatwo da się ją zostawić samą.

Wyrażenie x plus jeden podstawione za y w drugim równaniu układu.

$\begin{cases}y=x+1\\2x+y=7\end{cases}$

Podstawienie za y

Rozwiąż układ $\begin{cases}y=x+1\\2x+y=7\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Z pierwszego równania mamy $y=x+1$ . W drugim równaniu wpisujemy $x+1$ za $y$ : $2x+(x+1)=7$ . Stąd $3x+1=7$ , więc $x=2$ i $y=3$ .

02WYJAŚNIENIE

Gdy trzeba przekształcić równanie

Czasem żadne równanie nie jest od razu zapisane jako $x=\ldots$ albo $y=\ldots$ . Wtedy wybierz prostsze równanie i wyznacz z niego jedną niewiadomą.

Wyznaczanie z sumy

Rozwiąż układ $\begin{cases}x+y=9\\2x-y=3\end{cases}$ metodą podstawiania.

Rozwiązanie

Z pierwszego równania wyznaczamy $y=9-x$ . Podstawiamy: $2x-(9-x)=3$ . Po usunięciu nawiasu $2x-9+x=3$ , czyli $3x=12$ . Zatem $x=4$ i $y=5$ .

Wskazówka

Z równania $x+y=9$ najczęściej łatwo dostać $y=9-x$ albo $x=9-y$ .

03WYJAŚNIENIE

Minus przed nawiasem

Przy podstawianiu często pojawia się nawias. Jeśli przed nawiasem stoi minus, zmienia on znaki wszystkich składników w nawiasie.

$2x-(9-x)=2x-9+x$

Równanie po podstawieniu

Rozwiąż równanie $2x-(9-x)=3$ .

Rozwiązanie

$2x-(9-x)=2x-9+x$ , więc $3x-9=3$ . Dodajemy $9$ i dostajemy $3x=12$ , czyli $x=4$ .

Wskazówka

$2x-(9-x)\ne2x-9-x$

04WYJAŚNIENIE

Podstaw wynik z powrotem

Po obliczeniu jednej niewiadomej wracasz do najprostszego równania. Drugiej liczby nie zgadujesz, tylko liczysz ją z równania.

Druga niewiadoma

W układzie $\begin{cases}x+y=9\\2x-y=3\end{cases}$ obliczono $x=4$ . Znajdź $y$ .

Rozwiązanie

Wybieramy równanie $x+y=9$ . Po podstawieniu: $4+y=9$ , więc $y=5$ . Sprawdzenie: $2\cdot4-5=3$ .

Zapamiętaj

Odpowiedź do układu zapisuj jako parę $(x,y)$ .

05WYJAŚNIENIE

Czasem wygodniej wyznaczyć x

Nie zawsze trzeba wyznaczać $y$ . Wybierz tę niewiadomą, którą łatwiej zostawić samą po jednej stronie.

Ułamki też są poprawne

Rozwiąż układ $\begin{cases}x=2y-1\\3x+y=13\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $2y-1$ za $x$ : $3(2y-1)+y=13$ . Stąd $7y-3=13$ , więc $y=\frac{16}{7}$ . Dalej $x=2\cdot\frac{16}{7}-1=\frac{25}{7}$ .

Wskazówka

Nie unikaj ułamków za wszelką cenę. Rozwiązanie układu nie zawsze jest parą liczb całkowitych.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

W układzie $\begin{cases}y=2x\\x+y=12\end{cases}$ po podstawieniu za $y$ otrzymujemy:

$x+2x=12$

$2x+y=12$

$x+x=12$

$y+2y=12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x+2x=12$

Skoro $y=2x$ , w równaniu $x+y=12$ wpisujemy $2x$ za $y$ .

PYTANIE 02

Rozwiązaniem układu $\begin{cases}y=x+4\\x+y=10\end{cases}$ jest:

$(2,8)$

$(3,7)$

$(4,6)$

$(5,5)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(3,7)$

$x+x+4=10$ , więc $2x=6$ , $x=3$ i $y=7$ .

PYTANIE 03

Z równania $x+y=11$ najwygodniej wyznaczyć $y$ jako:

$y=x-11$

$y=11-x$

$y=11+x$

$y=\frac{11}{x}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$y=11-x$

Po odjęciu $x$ od obu stron dostajemy $y=11-x$ .

PYTANIE 04

W wyrażeniu $5-(2-x)$ po usunięciu nawiasu otrzymujemy:

$5-2-x$

$5+2-x$

$5-2+x$

$5+2+x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$5-2+x$

$5-(2-x)=5-2+x$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z podstawiania?

W metodzie podstawiania najpierw wyznaczasz jedną niewiadomą z prostszego równania. Potem podstawiasz otrzymane wyrażenie do drugiego równania, liczysz pierwszą niewiadomą, wracasz po drugą i zapisujesz wynik jako parę $(x,y)$ .

Zapamiętaj

Jedno podstawienie daje jedno równanie z jedną niewiadomą.

Minus przed nawiasem zmienia znaki.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Najpierw wyznacz jedną niewiadomą

Gdy trzeba przekształcić równanie

Minus przed nawiasem

Podstaw wynik z powrotem

Czasem wygodniej wyznaczyć x

Teraz Twoja kolej

W układzie {y=2xx+y=12\begin{cases}y=2x\\x+y=12\end{cases}{y=2xx+y=12​ po podstawieniu za yyy otrzymujemy:

Rozwiązaniem układu {y=x+4x+y=10\begin{cases}y=x+4\\x+y=10\end{cases}{y=x+4x+y=10​ jest:

Z równania x+y=11x+y=11x+y=11 najwygodniej wyznaczyć yyy jako:

W wyrażeniu 5−(2−x)5-(2-x)5−(2−x) po usunięciu nawiasu otrzymujemy:

Co zapamiętać z podstawiania?

W układzie $\begin{cases}y=2x\\x+y=12\end{cases}$ po podstawieniu za $y$ otrzymujemy:

Rozwiązaniem układu $\begin{cases}y=x+4\\x+y=10\end{cases}$ jest:

Z równania $x+y=11$ najwygodniej wyznaczyć $y$ jako:

W wyrażeniu $5-(2-x)$ po usunięciu nawiasu otrzymujemy: