Układ dwóch równań liniowych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się czytać układ dwóch równań jako dwa warunki, które mają być spełnione jednocześnie. Zobaczysz też, że rozwiązaniem nie jest jedna liczba, tylko para: wartość dla $x$ i wartość dla $y$ .

Na start

Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ .

Para musi spełniać oba równania.

Kolejność w parze ma znaczenie.

Po tej lekcji:

rozumiesz układ jako dwa warunki naraz
sprawdzasz, czy para liczb spełnia układ
czytasz parę w kolejności x, y

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Układ to dwa warunki naraz

Jedno równanie z dwiema niewiadomymi ma zwykle wiele rozwiązań. Układ zawęża wybór: szukamy pary, która pasuje do pierwszego i drugiego równania.

Para cztery trzy sprawdzona w dwóch równaniach układu.

$\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$

Sprawdzenie obu równań

Sprawdź, czy para $(4,3)$ spełnia układ $\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $x=4$ i $y=3$ . Pierwsze równanie: $4+3=7$ . Drugie: $4-3=1$ . Para spełnia cały układ.

02WYJAŚNIENIE

Jedno równanie nie wystarczy

Do rozwiązania układu nie wystarczy, że para działa w jednym równaniu. Musi działać w każdym równaniu zapisanym w klamrze.

Para odpada po drugim warunku

Sprawdź, czy $(5,2)$ spełnia układ $\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$ .

Rozwiązanie

$5+2=7$ , więc pierwszy warunek działa. Ale $5-2=3$ , a drugie równanie wymaga wyniku $1$ . Para nie jest rozwiązaniem układu.

Wskazówka

Nie kończ sprawdzania po pierwszym równaniu.

03WYJAŚNIENIE

Kolejność w parze ma znaczenie

Para $(x,y)$ jest uporządkowana. Pierwsza liczba podstawiana jest za $x$ , druga za $y$ .

$(x,y)=(2,5)\quad\Rightarrow\quad x=2,\ y=5$

Pierwsza liczba to x

Sprawdź, czy para $(2,5)$ spełnia równanie $2x+y=9$ .

Rozwiązanie

Odczytujemy $x=2$ oraz $y=5$ . Po podstawieniu: $2\cdot2+5=9$ , więc para spełnia równanie.

Zapamiętaj

$(2,5)\ne(5,2)$

04WYJAŚNIENIE

Rozsądne szukanie pary

Na początku możesz szukać par, które spełniają pierwszy warunek, a potem sprawdzać drugi. Metody rachunkowe robią to samo szybciej.

Pierwszy warunek daje kilka par

Znajdź rozwiązanie układu $\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases}$ .

Rozwiązanie

Z pierwszego równania pasują na przykład $(6,4)$ , $(7,3)$ , $(8,2)$ . Drugie równanie spełnia $(7,3)$ , bo $7-3=4$ .

Wskazówka

Przy małych liczbach takie sprawdzenie pomaga zrozumieć sens układu.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Która para spełnia układ $\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}$ ?

$(2,4)$

$(4,2)$

$(3,3)$

$(6,2)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(4,2)$

Dla $(4,2)$ mamy $4+2=6$ oraz $4-2=2$ .

PYTANIE 02

Para $(1,5)$ w zapisie $(x,y)$ oznacza:

$x=5,\ y=1$

$x=1,\ y=5$

$x=1,\ y=1$

$x=5,\ y=5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=1,\ y=5$

W parze $(x,y)$ pierwsza liczba jest wartością $x$ , a druga wartością $y$ .

PYTANIE 03

Czy para $(3,2)$ spełnia układ $\begin{cases}2x+y=8\\x+2y=7\end{cases}$ ?

tak, spełnia oba równania

nie, spełnia tylko pierwsze równanie

nie, spełnia tylko drugie równanie

nie, nie spełnia żadnego równania

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

tak, spełnia oba równania

$2\cdot3+2=8$ oraz $3+2\cdot2=7$ , więc para spełnia układ.

PYTANIE 04

Rozwiązaniem układu dwóch równań z niewiadomymi $x$ i $y$ jest zwykle:

jedna liczba $x$

jedna liczba $y$

para liczb $(x,y)$

dowolna liczba rzeczywista

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

para liczb $(x,y)$

Układ z dwiema niewiadomymi wymaga pary $(x,y)$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o układzie?

Układ dwóch równań oznacza dwa warunki spełnione jednocześnie. Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ . Aby ją sprawdzić, podstaw pierwszą liczbę za $x$ , drugą za $y$ i sprawdź każde równanie osobno.

Zapamiętaj

Jedno równanie nie wystarczy.

$(x,y)$ oznacza najpierw $x$ , potem $y$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Układ to dwa warunki naraz

Jedno równanie nie wystarczy

Kolejność w parze ma znaczenie

Rozsądne szukanie pary

Teraz Twoja kolej

Która para spełnia układ {x+y=6x−y=2\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}{x+y=6x−y=2​?

Para (1,5)(1,5)(1,5) w zapisie (x,y)(x,y)(x,y) oznacza:

Czy para (3,2)(3,2)(3,2) spełnia układ {2x+y=8x+2y=7\begin{cases}2x+y=8\\x+2y=7\end{cases}{2x+y=8x+2y=7​?

Rozwiązaniem układu dwóch równań z niewiadomymi xxx i yyy jest zwykle:

Co zapamiętać o układzie?

Która para spełnia układ $\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}$ ?

Para $(1,5)$ w zapisie $(x,y)$ oznacza:

Czy para $(3,2)$ spełnia układ $\begin{cases}2x+y=8\\x+2y=7\end{cases}$ ?

Rozwiązaniem układu dwóch równań z niewiadomymi $x$ i $y$ jest zwykle: