Układy równań w zadaniach tekstowych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się zamieniać treść zadania na układ równań. Będziesz nazywać niewiadome, zapisywać dwa warunki, rozwiązywać układ i odpowiadać pełnym zdaniem.

Na start

Dwa nieznane fakty zwykle wymagają dwóch niewiadomych.

Dwa niezależne warunki dają dwa równania.

Wynik musi pasować do treści zadania.

Po tej lekcji:

nazwiesz niewiadome w zadaniu tekstowym
zapiszesz dwa warunki jako dwa równania
rozwiążesz układ i zinterpretujesz wynik

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Zaczynaj od nazw niewiadomych

Nie zaczynaj od samego $x$ i $y$ . Najpierw zapisz, co oznaczają. Dzięki temu równania mają sens i łatwiej sprawdzić odpowiedź.

$x$ - liczba biletów ulgowych

$y$ - liczba biletów normalnych

Pierwszy warunek z treści

W kinie sprzedano razem $20$ biletów: ulgowe i normalne. Jak zapisać równanie opisujące liczbę biletów?

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza liczbę ulgowych, a $y$ normalnych. Razem jest $20$ biletów, więc $x+y=20$ .

Wskazówka

Po zapisaniu niewiadomych dopisz ich znaczenie słowne albo jednostki.

02WYJAŚNIENIE

Drugie równanie z drugiego warunku

Jeśli zadanie mówi także o cenie, masie, wieku albo liczbie punktów, zwykle jest drugi warunek. Z niego powstaje drugie równanie.

Dwa warunki z zadania o biletach prowadzą do dwóch równań.

$\begin{cases}x+y=20\\12x+18y=300\end{cases}$

Bilety: liczba i cena

Bilet ulgowy kosztuje $12$ zł, normalny $18$ zł. Sprzedano $20$ biletów za $300$ zł. Ułóż układ.

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza bilety ulgowe, a $y$ normalne. Liczba biletów: $x+y=20$ . Cena: $12x+18y=300$ .

03WYJAŚNIENIE

Rozwiązanie zadania o biletach

Gdy układ jest już zapisany, wybierasz metodę rachunkową. Tutaj wygodne jest podstawianie z równania o liczbie biletów.

Wróć do znaczenia niewiadomych

Rozwiąż układ $\begin{cases}x+y=20\\12x+18y=300\end{cases}$ i podaj liczbę biletów.

Rozwiązanie

Z pierwszego równania $x=20-y$ . Podstawiamy: $12(20-y)+18y=300$ . Po uproszczeniu $240+6y=300$ , więc $y=10$ i $x=10$ .

Zapamiętaj

Odpowiedź: sprzedano $10$ biletów ulgowych i $10$ normalnych.

04WYJAŚNIENIE

Liczby i wiek

W zadaniach o dwóch liczbach równania często opisują sumę i różnicę. W zadaniach o wieku pilnuj, czy treść mówi o wieku teraz, czy za kilka lat.

Suma i różnica liczb

Suma dwóch liczb wynosi $34$ , a ich różnica $8$ . Znajdź te liczby.

Rozwiązanie

Niech $x$ będzie większą liczbą, a $y$ mniejszą. Układ: $\begin{cases}x+y=34\\x-y=8\end{cases}$ . Po dodaniu równań $2x=42$ , więc $x=21$ i $y=13$ .

Wskazówka

W zdaniu „za $5$ lat” dodajesz $5$ do wieku każdej osoby.

05WYJAŚNIENIE

Zakupy i mieszanki

Jeśli zadanie dotyczy dwóch rodzajów produktów, jedno równanie opisuje ilość albo masę, a drugie koszt albo wartość.

Cena razy ilość

Kupiono $6$ kg jabłek i gruszek. Jabłka kosztują $4$ zł za kg, gruszki $7$ zł za kg. Zapłacono $33$ zł. Ile kilogramów jabłek kupiono?

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza kilogramy jabłek, a $y$ kilogramy gruszek. Mamy $x+y=6$ oraz $4x+7y=33$ . Z $x=6-y$ dostajemy $4(6-y)+7y=33$ , więc $y=3$ i $x=3$ .

Wskazówka

Koszt zapisuj jako cena razy ilość, na przykład $4x$ , a nie $4+x$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Liczba długopisów $x$ i zeszytów $y$ razem wynosi $15$ . Które równanie opisuje ten warunek?

$xy=15$

$x+y=15$

$x-y=15$

$15x=y$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x+y=15$

Jeśli razem jest $15$ przedmiotów, dodajemy liczby obu rodzajów: $x+y=15$ .

PYTANIE 02

Bilet ulgowy kosztuje $10$ zł, a normalny $16$ zł. Jeśli $x$ oznacza liczbę ulgowych, a $y$ normalnych, to koszt wszystkich biletów opisuje:

$10x+16y$

$26xy$

$16x+10y$

$10+x+16+y$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$10x+16y$

Bilety ulgowe kosztują $10x$ , a normalne $16y$ , więc razem $10x+16y$ .

PYTANIE 03

Suma dwóch liczb wynosi $18$ , a różnica $4$ . Większa liczba to:

$7$

$9$

$11$

$14$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$11$

Układ to $\begin{cases}x+y=18\\x-y=4\end{cases}$ . Po dodaniu równań $2x=22$ , więc $x=11$ .

PYTANIE 04

Ania i Bartek mają razem $40$ lat. Jeśli $x$ oznacza wiek Ani, a $y$ wiek Bartka, to ich wiek za $3$ lata razem opisuje:

$x+y+3$

$x+y+6$

$3x+3y$

$x+3y$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x+y+6$

Za $3$ lata suma wieku to $(x+3)+(y+3)=x+y+6$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać z zadań tekstowych?

Najpierw nazwij niewiadome razem z ich znaczeniem. Potem znajdź dwa niezależne warunki i zapisz z nich dwa równania. Po rozwiązaniu układu wróć do pytania i odpowiedz pełnym zdaniem. Wynik ma mieć sens w sytuacji: liczbie biletów, kilogramów, wieku albo cenie.

Zapamiętaj

Razem zwykle daje równanie z sumą.

Cena razy ilość daje koszt.

Warunek „za kilka lat” dotyczy każdej osoby.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Zaczynaj od nazw niewiadomych

Drugie równanie z drugiego warunku

Rozwiązanie zadania o biletach

Liczby i wiek

Zakupy i mieszanki

Teraz Twoja kolej

Liczba długopisów xxx i zeszytów yyy razem wynosi 151515. Które równanie opisuje ten warunek?

Bilet ulgowy kosztuje 101010 zł, a normalny 161616 zł. Jeśli xxx oznacza liczbę ulgowych, a yyy normalnych, to koszt wszystkich biletów opisuje:

Suma dwóch liczb wynosi 181818, a różnica 444. Większa liczba to:

Ania i Bartek mają razem 404040 lat. Jeśli xxx oznacza wiek Ani, a yyy wiek Bartka, to ich wiek za 333 lata razem opisuje:

Co zapamiętać z zadań tekstowych?

Liczba długopisów $x$ i zeszytów $y$ razem wynosi $15$ . Które równanie opisuje ten warunek?

Bilet ulgowy kosztuje $10$ zł, a normalny $16$ zł. Jeśli $x$ oznacza liczbę ulgowych, a $y$ normalnych, to koszt wszystkich biletów opisuje:

Suma dwóch liczb wynosi $18$ , a różnica $4$ . Większa liczba to:

Ania i Bartek mają razem $40$ lat. Jeśli $x$ oznacza wiek Ani, a $y$ wiek Bartka, to ich wiek za $3$ lata razem opisuje: