Wyznaczanie boków trójkąta prostokątnego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się używać trygonometrii do obliczania boków. Najpierw nazwiesz boki względem kąta, potem wybierzesz funkcję, a na końcu rozwiążesz równanie.

Na start

zaznacz kąt

nazwij bok dany i szukany

dobierz sinus, cosinus albo tangens

Po tej lekcji:

dobierzesz funkcję trygonometryczną do danych boków
ułożysz równanie na brakujący bok
sprawdzisz sens wyniku w trójkącie prostokątnym

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Schemat wyboru funkcji

Wybór funkcji zależy od tego, które boki masz w zadaniu. Jeśli występuje przeciwprostokątna i bok naprzeciw kąta, użyj sinusa. Jeśli przeciwprostokątna i bok przy kącie, użyj cosinusa. Jeśli dwie przyprostokątne, użyj tangensa.

Schemat doboru funkcji trygonometrycznej do dwóch boków.

Zapamiętaj

naprzeciw + przeciwprostokątna: $\sin$

przy kącie + przeciwprostokątna: $\cos$

naprzeciw + przy kącie: $\tg$

02WYJAŚNIENIE

Szukany bok naprzeciw kąta: użyj sinusa

Jeśli znasz przeciwprostokątną i kąt, a szukasz boku naprzeciw kąta, najprościej użyć sinusa. Sinus ma w liczniku bok naprzeciw, więc równanie prowadzi do mnożenia.

Trójkąt z kątem 30 stopni, przeciwprostokątną 10 i szukanym bokiem x.

W przykładzie przeciwprostokątna ma długość $10$ , a kąt $30^\circ$ . Szukany bok $x$ leży naprzeciw tego kąta. Z $\frac12=\frac{x}{10}$ mnożymy obie strony przez $10$ i otrzymujemy $x=5$ .

$\sin30^\circ=\frac{x}{10}$

$\frac{1}{2}=\frac{x}{10}$

$x=5$

03WYJAŚNIENIE

Szukana przeciwprostokątna: uważaj na dzielenie

Jeśli szukasz przeciwprostokątnej, niewiadoma często trafia do mianownika. Wtedy rozwiąż równanie spokojnie i sprawdź, czy wynik jest najdłuższym bokiem.

Trójkąt z kątem 60 stopni, bokiem przy kącie 4 i szukaną przeciwprostokątną c.

Dane: przyprostokątna przyległa do kąta $60^\circ$ ma długość $4$ . Szukamy przeciwprostokątnej $c$ . Z $\frac12=\frac4c$ mnożymy przez $2c$ , otrzymując $c=8$ .

$\cos60^\circ=\frac{4}{c}$

$\frac{1}{2}=\frac{4}{c}$

$c=8$

Wskazówka

Przeciwprostokątna nie może być krótsza od przyprostokątnej.

04WYJAŚNIENIE

Dwie przyprostokątne: użyj tangensa

W trójkącie prostokątnym kąt ostry ma 45°, bok przy tym kącie ma długość 7, a bok naprzeciw oznaczono przez x. Oblicz x. Tangens łączy bok naprzeciw kąta i bok przy kącie.

Trójkąt z kątem 45 stopni, bokiem przy kącie 7 i szukanym bokiem naprzeciw.

$\tg45^\circ=\frac{x}{7}$

$1=\frac{x}{7}$

$x=7$

05WYJAŚNIENIE

Gdy w zadaniu podano wartość funkcji

Możesz dostać gotową wartość funkcji, na przykład $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ . Jeśli przeciwprostokątna ma długość 20, a bok naprzeciw kąta oznaczono przez x, oblicz x. Wtedy nie szukasz kąta, tylko używasz tej wartości jako ilorazu boków.

Trójkąt z gotową wartością sinusa alfa i obliczanym bokiem naprzeciw kąta.

$\frac{3}{5}=\frac{x}{20}$

$x=20\cdot\frac{3}{5}=12$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Przeciwprostokątna ma długość $12$ , a $\alpha=30^\circ$ . Bok naprzeciw kąta $\alpha$ ma długość:

$4$

$6$

$6\sqrt{3}$

$12\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6$

$\sin30^\circ=\frac{x}{12}$ , więc $\frac{1}{2}=\frac{x}{12}$ , czyli $x=6$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Kąt $\alpha=60^\circ$ , a bok przy tym kącie ma długość $5$ . Przeciwprostokątna ma długość:

$\frac{5}{2}$

$5$

$10$

$5\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$10$

$\cos60^\circ=\frac{5}{c}$ , czyli $\frac{1}{2}=\frac{5}{c}$ , więc $c=10$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Do wyznaczania boków najpierw wybierasz kąt, potem nazywasz boki i dopiero wtedy wybierasz funkcję. Na końcu sprawdzasz sens wyniku: przeciwprostokątna musi być najdłuższa.

Zapamiętaj

bok naprzeciw + przeciwprostokątna: sinus

bok przy kącie + przeciwprostokątna: cosinus

dwie przyprostokątne: tangens