Wyznaczanie kątów trójkąta prostokątnego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się działać odwrotnie niż wcześniej. Zamiast liczyć wartość funkcji dla znanego kąta, będziesz rozpoznawać kąt na podstawie wartości funkcji albo stosunku boków.

Na start

wracasz do tabeli wartości szczególnych

tworzysz iloraz z boków

drugi kąt liczysz z sumy kątów ostrych

Po tej lekcji:

rozpoznasz kąt ostry z wartości sinusa, cosinusa lub tangensa
wyznaczysz kąt z ilorazu boków
obliczysz drugi kąt ostry w trójkącie prostokątnym

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wartość funkcji może wskazać kąt

Jeśli wiesz, że $\sin\alpha=\frac{1}{2}$ , to wracasz do tabeli wartości szczególnych. Dla kąta ostrego sinus równy $\frac{1}{2}$ oznacza $30^\circ$ .

$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

$\alpha=30^\circ$

Wskazówka

W zadaniu o trójkącie prostokątnym nie podawaj kąta rozwartego. Szukasz kąta ostrego.

02WYJAŚNIENIE

Cosinus i tangens też rozpoznają kąty

Ten sam pomysł działa dla cosinusa i tangensa. Szukasz w tabeli wartości, która pasuje do podanej funkcji.

$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\alpha=45^\circ$

$\tg\beta=\sqrt{3}\Rightarrow\beta=60^\circ$

03WYJAŚNIENIE

Wyznaczanie kąta z boków

Jeśli zadanie podaje długości boków, najpierw wybierz funkcję, która łączy te boki, a potem porównaj otrzymany iloraz z tabelą wartości szczególnych.

Trójkąt z bokiem naprzeciw 6, przeciwprostokątną 12 i wyznaczanym kątem alfa.

$\sin\alpha=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$\alpha=30^\circ$

04WYJAŚNIENIE

Kąt z tangensa

Jeśli znasz obie przyprostokątne, często najprościej użyć tangensa. Gdy przyprostokątne są równe, tangens kąta ostrego jest równy $1$ , więc kąt ma $45^\circ$ .

Trójkąt z dwiema równymi przyprostokątnymi i kątem alfa równym 45 stopni.

$\tg\alpha=\frac{5}{5}=1$

$\alpha=45^\circ$

05WYJAŚNIENIE

Drugi kąt ostry

W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma $90^\circ$ , więc dwa kąty ostre razem mają $90^\circ$ . Gdy znasz jeden z nich, drugi obliczasz przez odejmowanie od $90^\circ$ .

Trójkąt prostokątny z kątami ostrymi alfa i beta oraz zależnością alfa plus beta równa 90 stopni.

$\alpha+\beta=90^\circ$

$35^\circ+\beta=90^\circ$

$\beta=55^\circ$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{1}{2}$ . Wtedy:

$\alpha=30^\circ$

$\alpha=45^\circ$

$\alpha=60^\circ$

$\alpha=90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\alpha=30^\circ$

Dla kąta ostrego $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Bok naprzeciw kąta $\alpha$ ma długość $4$ , a przeciwprostokątna $8$ . Kąt $\alpha$ ma miarę:

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$30^\circ$

$\sin\alpha=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ , więc $\alpha=30^\circ$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Wyznaczanie kąta polega na rozpoznaniu wartości funkcji trygonometrycznej. Jeśli znasz boki, najpierw tworzysz iloraz, a potem porównujesz wynik z tabelą wartości dla kątów szczególnych.

Zapamiętaj

$\sin\alpha=\frac{1}{2}\Rightarrow\alpha=30^\circ$

$\cos\alpha=\frac{1}{2}\Rightarrow\alpha=60^\circ$

$\tg\alpha=1\Rightarrow\alpha=45^\circ$

$\alpha+\beta=90^\circ$