Wartości funkcji dla kątów 30°, 45° i 60° - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Uporządkujesz wartości $\sin$ , $\cos$ i $\tg$ dla kątów $30^\circ$ , $45^\circ$ i $60^\circ$ . Zobaczysz, że wynikają z dwóch prostych trójkątów, a nie z przypadkowej tabeli.

Na start

kąt 45 stopni pochodzi z trójkąta równoramiennego prostokątnego

kąty 30 i 60 stopni pochodzą z połowy trójkąta równobocznego

wyniki zostawiamy dokładnie, z pierwiastkami

Po tej lekcji:

znasz wartości funkcji dla kątów 30, 45 i 60 stopni
rozumiesz, skąd bierze się tabela wartości
użyjesz wartości szczególnych w rachunku

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kąt 45°: trójkąt równoramienny prostokątny

Trójkąt prostokątny z kątami ostrymi po $45^\circ$ ma równe przyprostokątne. Jeśli każda ma długość $1$ , to przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{2}$ .

Trójkąt 45-45-90 z bokami 1, 1 i pierwiastek z 2.

$1^2+1^2=d^2$

$d=\sqrt{2}$

$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tg45^\circ=1$

02WYJAŚNIENIE

Kąty 30° i 60°: połowa trójkąta równobocznego

Po przecięciu trójkąta równobocznego wysokością dostajesz trójkąt prostokątny o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Jego boki są w proporcji $1:\sqrt{3}:2$ .

Trójkąt 30-60-90 z bokami 1, pierwiastek z 3 i 2.

Weź trójkąt równoboczny o boku $2$ . Wysokość dzieli podstawę na odcinki długości $1$ , a kąt wierzchołkowy na dwa kąty po $30^\circ$ . Z Pitagorasa wysokość wynosi $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ . Stąd boki naprzeciw kątów $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ mają długości odpowiednio $1$ , $\sqrt3$ , $2$ .

Zapamiętaj

naprzeciw 30 stopni leży najkrótszy bok

naprzeciw 60 stopni leży bok długości $\sqrt{3}$

przeciwprostokątna ma długość $2$

03WYJAŚNIENIE

Tabela wartości do zapamiętania

W wierszu sinusa wartości rosną od $\frac{1}{2}$ do $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . W wierszu cosinusa te same wartości idą w odwrotnej kolejności. Tangens dla $45^\circ$ wynosi $1$ .

Tabela wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla 30, 45 i 60 stopni.

Wskazówka

Sinus i cosinus dla $30^\circ$ oraz $60^\circ$ zamieniają się miejscami.

04WYJAŚNIENIE

Użycie tabeli w rachunku

W zadaniu często trzeba nie tylko podać wartość funkcji, ale też wykonać obliczenie z tą wartością. Najpierw odczytaj wartość z tabeli, potem podstaw ją do działania.

$12\sin30^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6$

$4\tg60^\circ=4\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Wskazówka

Nie zamieniaj $\sqrt{3}$ na przybliżenie, jeśli zadanie nie prosi o przybliżenie.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Wartość $\sin30^\circ$ wynosi:

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{1}{2}$

Z tabeli wartości szczególnych $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Wartość wyrażenia $10\cos60^\circ$ wynosi:

$5$

$10$

$5\sqrt{3}$

$10\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$5$

$\cos60^\circ=\frac{1}{2}$ , więc $10\cdot\frac{1}{2}=5$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych wynikają z trójkątów specjalnych. W zadaniach najpierw odczytujesz wartość funkcji, a potem wykonujesz zwykły rachunek.

Zapamiętaj

$\sin30^\circ=\frac{1}{2},\ \sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \cos60^\circ=\frac{1}{2}$

$\tg30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3},\ \tg45^\circ=1,\ \tg60^\circ=\sqrt{3}$