Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się, skąd biorą się sinus, cosinus i tangens kąta ostrego. Najpierw nazwiesz boki względem wybranego kąta, potem zapiszesz trzy ilorazy, a na końcu użyjesz ich w konkretnych trójkątach.

Na start

najpierw wybierasz kąt

potem nazywasz boki

na końcu liczysz ilorazy

Po tej lekcji:

wskażesz boki trójkąta prostokątnego względem kąta ostrego
obliczysz sinus, cosinus i tangens z długości boków
zobaczysz, dlaczego najpierw wybiera się kąt

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw wybierz kąt, potem nazywaj boki

Przeciwprostokątna jest zawsze naprzeciw kąta prostego. Pozostałe dwa boki nazywasz względem wybranego kąta ostrego: jeden jest przy kącie, a drugi naprzeciw kąta.

Trójkąt prostokątny z kątem alfa i bokami opisanymi względem tego kąta.

Przeciwprostokątna to bok naprzeciw kąta $90^\circ$ .

Zapamiętaj

przeciwprostokątna nie zależy od wyboru kąta ostrego

bok przy kącie i bok naprzeciw zależą od wybranego kąta

Wskazówka

Nie nazywaj boków bez wskazania kąta. Ten sam bok może zmienić rolę.

02WYJAŚNIENIE

Trzy ilorazy: sinus, cosinus i tangens

Gdy wybierzesz kąt ostry $\alpha$ , możesz zapisać trzy ilorazy boków. Sinus używa boku naprzeciw i przeciwprostokątnej, cosinus boku przy kącie i przeciwprostokątnej, a tangens dwóch przyprostokątnych. „Bok przy kącie” oznacza tu przyprostokątną przyległą do kąta, nie przeciwprostokątną. Przy powiększeniu podobnego trójkąta wszystkie boki rosną tyle samo razy, więc te ilorazy się nie zmieniają i zależą tylko od kąta.

$\sin\alpha=\frac{\text{bok naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\cos\alpha=\frac{\text{bok przy }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\tg\alpha=\frac{\text{bok naprzeciw }\alpha}{\text{bok przy }\alpha}$

Wskazówka

W sinusie i cosinusie w mianowniku jest przeciwprostokątna. W tangensie przeciwprostokątna nie występuje.

03WYJAŚNIENIE

Przykład na trójkącie trzy, cztery, pięć

W trójkącie prostokątnym o bokach $3,4,5$ przeciwprostokątna ma długość $5$ . Jeśli kąt $\alpha$ jest przy boku długości $4$ , to bok naprzeciw kąta ma długość $3$ .

Trójkąt prostokątny 3-4-5 z ilorazami sinusa, cosinusa i tangensa.

$\sin\alpha=\frac{3}{5}$

$\cos\alpha=\frac{4}{5}$

$\tg\alpha=\frac{3}{4}$

04WYJAŚNIENIE

Gdy zmienisz kąt, zmieniają się nazwy boków

W tym samym trójkącie możesz wybrać drugi kąt ostry. Przeciwprostokątna zostaje ta sama, ale bok naprzeciw i bok przy kącie zamieniają się rolami.

Ten sam trójkąt z dwoma kątami ostrymi alfa i beta oraz różnymi sinusami.

$\sin\alpha=\frac{3}{5}$

$\sin\beta=\frac{4}{5}$

Wskazówka

Funkcji trygonometrycznej nie liczysz dla całego trójkąta, tylko dla konkretnego kąta.

05WYJAŚNIENIE

Jak wybrać właściwą funkcję?

Najpierw nazwij boki względem kąta, potem sprawdź, które dwa boki występują w danych albo w pytaniu. Ta para boków podpowiada funkcję.

Schemat wyboru sinusa, cosinusa albo tangensa po parze boków.

Zapamiętaj

naprzeciw i przeciwprostokątna: sinus

przy kącie i przeciwprostokątna: cosinus

naprzeciw i przy kącie: tangens

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Dla kąta $\alpha$ bok naprzeciw ma długość $5$ , a przeciwprostokątna $13$ . Ile wynosi $\sin\alpha$ ?

$\frac{5}{13}$

$\frac{12}{13}$

$\frac{13}{5}$

$\frac{5}{12}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{5}{13}$

Sinus to bok naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną, więc $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Tangens kąta ostrego to iloraz:

boku przy kącie i przeciwprostokątnej

boku naprzeciw kąta i przeciwprostokątnej

boku naprzeciw kąta i boku przy kącie

przeciwprostokątnej i boku naprzeciw kąta

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

boku naprzeciw kąta i boku przy kącie

Tangens ma postać $\tg\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to ilorazy długości boków. Zanim zapiszesz wzór, wybierz kąt i nazwij boki względem tego kąta.

Zapamiętaj

$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\cos\alpha=\frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}$

$\tg\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$